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Funktionen

Handwerkszeug für dieses Notebook:

Rechenoperationen:

Multiplikation:  *

Division und Brüche:  /

Eingabe von Potenzen:  **

Eingabe eines Kommas als Punkt:  .

Eine Zelle ausführen:  Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: x= \sqrt{x} = sqrt(x) und n-te Wurzeln: xn= \sqrt[n]{x} = x**(1/n)

e e -Funktion: ex e^x = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
 

# Führen Sie diese Zelle aus. Damit erhalten Sie nochmal alle Hinweise zu den nötigen Eingaben
Spickzettel()

Weitere elementare Funktionen

Zur späteren Darstellung der Funktionen verwenden wir wieder Sympy. Wir müssen daher zunächst noch einmal die plot-Funktion sowie die Exponential- und Logarithmusfunktion von Sympy importieren, damit uns diese im gesamten Notebook zur Verfügung steht. Führen Sie dazu bitte die folgende Code-Zelle aus, indem Sie in die Codezelle klicken und gleichzeitg Shift und Enter drücken.

from sympy import plot, exp, log

Wurzelfunktion

Die Funktion $f: [0,\infty) \rightarrow [0,\infty), f(x)=\sqrt[n]{x}$ für $n \in \mathbb{N}$ heißt Wurzelfunktion.

Nach Definition ist stets xn≥0\sqrt[n]{x} \ge 0.
Rechenregeln: siehe 01_Wurzeln_Definition.ipynb und

02_Wurzeln_Rechenregeln.ipynb


Nullstelle: xN=0x_N = 0

Da $n=2$ am häufigsten verwendet wird, gilt die Kurzschreibweise: $\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$

Stellen Sie nun die drei Wurzelfunktionen x,x4\sqrt{x}, \sqrt[4]{x} und x6\sqrt[6]{x} mit Hilfe von SymPy dar.

Denken Sie daran, dass Sie zur Eingabe der n-ten Wurzel in SymPy folgende Notation verwenden müssen: x**Rational(1,n)
Da SymPy die Funktionen standardmäßig/defaultmäßig im Intervall x \in [-10;10] auswertet, müssen Sie hier zusätzlich ein passendes Intervall auf der x-Achse übergeben, das im Definitionsbereich der Funktionen liegt (negative x-Werte liegen hier nicht im Definitionsbereich der darzustellenden Funktionen). Sie können hierfür z.B. die Option (x,0,10) im plot-Befehl nutzen.
Wenn Sie nicht weiter kommen, dann klicken Sie auf die drei grauen Punkte. Dort öffnet sich eine Code-Zelle, die Sie einfach ausführen können, um das Ergebnis zu erhalten.

# Code-Zelle zur Darstellung der Wurzelfunktionen

# Beispielcode zur Darstellung der Funktionen x^(1/2), x^(1/4) und x^(1/6)
plot(sqrt(x), x**Rational(1,4), x**Rational(1,6), (x,0,10), legend=True)

Betragsfunktion

Die Funktion $\quad f: \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty), f(x)=|x|=\left\{ \begin{array}{ll} x & \text{für}\quad x \ge 0\\ -x & \text{für}\quad x<0 \end{array} \quad\right.$ heißt Betragsfunktion.

Nullstelle: xN=0x_N = 0

🧐
Die geschweifte Klammer zeigt an, dass die Funktion abschnittsweise definiert ist. Im oberen Beispiel bedeutet das Folgendes. Wollen wir die Funktion an einer Stelle $x \ge 0$ auswerten (also einer positiven reellen Zahl oder null), so befinden wir uns in der oberen Zeile der Definitionsvorschrift und der Funktionswert entspricht dem Wert $x$ selber. Befinden wir uns dagegen im Bereich $x < 0$, also bei einer negativen reellen Zahl, so ist der Funktionswert gegeben durch $-x$ (siehe untere Zeile der Definitionsvorschrift).

Auch hier wollen wir nun SymPy nutzen, um die Betragsfunktion f(x)=∣x∣f(x)=|x| darzustellen. Der Betrag einer Zahl kann in SymPy einfach über die Funktion abs(x) berechnet werden. Wenn Sie nicht weiter kommen, dann klicken Sie auf die drei grauen Punkte. Dort öffnet sich eine Code-Zelle, die Sie einfach ausführen können, um das Ergebnis zu erhalten.

# Code-Zelle zur Darstellung der Betragsfunktion f(x)=|x|

# Darstellung der Betragsfunktion f(x)=|x|
plot(abs(x))

Für x>0x>0 entspricht der Funktionsgraph also einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung m=1m=1 und für negative xx-Werte einer Ursprungsgeraden mit Steigung m=−1m=-1.

Anwendungsbeispiel

Betragsfunktionen kommen zum Beispiel in der Berechnung von Punktabständen oder der Fehlerbetrachtung zur Anwendung. Wir wollen hier nun noch als Beispiel die Funktion f1(x)=∣x−2∣f_1(x)=|x-2| betrachten, die den Abstand einer Zahl zur Zahl 2 angibt.
Um uns zu überlegen, wie der Graph der Funktion aussieht, können wir uns die Translation von Funktionen zu nutze machen, die wir im Notebook 05_Translation_und_Spiegelung.ipynb kennengelernt haben.

  • Als Ausgangsfunktion nehmen wir die Funktion $f(x)=|x|$ an.

  • Es gilt: $f_1(x)=|x-2|=f(x-2) \qquad \rightarrow\qquad$ Es handelt sich also um eine Verschiebung um 2 Einheiten in positiver $x$-Richtung.

  • Die Nullstelle liegt also bei $x_N=2$.

  • Nutzen wir noch die oben gegebene Definition der Betragsfunktion so können wir schreiben:


    $\qquad f_1(x)=|x-2|=\left\{ \begin{array}{ll} x-2 & \text{für}\quad x \ge 2\\ -x+2 & \text{für}\quad x<2 \end{array} \quad\right.$

Versuchen Sie nun in der folgenden Code-Zelle die Funktion $f_1$ mit SymPy darzustellen. Durch Klicken auf die drei grauen Punkte öffnet sich auch hier eine Zelle mit Beispielcode zur Darstellung der Funktion $f_1$.

# Code-Zelle zur Darstellung der Funktion f_1(x)=|x-2|

# Darstellung der Funktion f_1(x)=|x-2|
plot(abs(x-2))

Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow (0,\infty), f(x)=e^x$ heißt Exponentialfunktion.
($e = 2,7182\dots$ heißt Eulersche Zahl.)

Nullstellen: keine
Es gilt: e0=1e^0=1 und e−x=1exe^{-x}=\frac{1}{e^x}
Anwendungen für exe^x: Wachstums- und Zerfallsprozesse

Die Funktion $g: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\ln(x)$ heißt natürlicher Logarithmus.

Nullstelle: xNx_N = 1
Anwendungen für ln⁡(x)\ln(x): Halbwertszeiten
Rechenregeln: siehe 01_Definition_Anwendung_Bedeutung.ipynb und

02_Logarithmengesetze.ipynb


Die Funktion $g(x)=\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=e^x$. Der Graph der Funktion $g(x)$ ergibt sich also durch Spiegelung der Funktion $f(x)$ an der ersten Winkelhalbierenden.
Für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ zu einer Funktion $f$ gilt allgemein:
$y = f(x)$
$x = f^{-1}(y)$

Am Beispiel der Exponential- und Logarithmusfunktion bedeutet das:

  • $y = f(x) = e^x$

  • Zur Bestimmung der Umkehrfunktion müssen wir diese Gleichung nach $x$ auflösen. Wir logarithmieren dazu beide Seiten der Gleichung und erhalten:


    $\ln(y) = \ln(e^x) = x$ und damit $f^{-1}(y) = \ln(y)$

Folgendes gilt es zu beachten:

  • $\ln(e^x) = x$ ist definiert für alle $x \in \mathbb{R}$ (da der Definitionsbereich der Exponentialfunktion der Menge der reellen Zahlen entspricht).

  • $e^{\ln(x)} = x$ ist definiert für alle $x \in \mathbb{R}_+$ (da der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion nur der Menge der positiven reellen Zahlen (ohne Null) entspricht).

Führen Sie nun noch die folgende Code-Zelle aus, um die Funktionen f(x)=exf(x)=e^x, die Funktion g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x) sowie die erste Winkelhalbierende (also die Gerade h(x)=xh(x)=x) darzustellen. Rufen Sie sich in Erinnerung, dass der natürliche Logarithmus in SymPy mit log bezeichnet wird. Zur besseren Darstellung haben wir hier noch weitere Optionen im plot-Befehl verwendet. Eine Erläuterung dieser Optionen finden Sie, wenn sie auf das Smiley klicken.

🧐

  • Die ersten drei Input-Parameter entsprechen den drei Funktionen, die dargestellt werden sollen, also $e^x$, $\ln(x)$ und $x$.

  • xlim=(-5,5): Der dargestellte Bereich der $x$-Achse wird auf das Intervall [-5;5] beschränkt.

  • ylim=(-5,5): Der dargestellte Bereich der $y$-Achse wird auf das Intervall [-5;5] beschränkt.

  • aspect_ratio=(1,1): Mittels der Option aspect_ratio wird der Abbildungsmaßstab der beiden Achsen im Verhältnis zueinander angegeben. (1,1) bedeuted dabei, dass der Abbildungsmaßstab auf beiden Achsen gleich ist.

  • legend=True: Es wird eine Legende in die Abbildung eingefügt.

# Darstellung der e-Funktion, des natürlichen Logarithmus und der ersten Winkelhalbierenden
plot(exp(x), log(x), x, xlim=(-5,5), ylim=(-5, 5), aspect_ratio=(1,1), legend=True)

Trigonometrische Funktionen

Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1;1],\quad f(x)=\sin(x)$ heißt Sinus(funktion).
Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow [-1;1],\quad g(x)=\cos(x)$ heißt Kosinus(funktion).

Die Definition von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck können Sie noch einmal in Notebook 04_Trigonometrie.ipynb nachsehen.

# Führen Sie diese Zelle aus, um die Graphen der beiden Funktionen zu sehen
Demo.Darstellung_Sinus_und_Kosinus()

Wiederholt sich der Graph, so sagt man “die Funktion ist periodisch”.

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periode $T$, falls $f(x+T)=f(x)$.
Es gilt:
$\qquad\sin(x+2\pi) = \sin(x),~~x\in \mathbb{R}$
$\qquad\cos(x+2\pi) = \cos(x),~~x\in \mathbb{R}$
$\qquad \rightarrow~~$ Sinus und Kosinus sind periodisch mit der Periode $2\pi$.

Nullstellen der Sinusfunktion:    xk=k⋅π~~~\quad x_k = k \cdot \pi mit k∈Zk \in \mathbb{Z}
Nullstellen der Kosinusfunktion: xk=π2+k⋅π\quad x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi mit k∈Zk \in \mathbb{Z}

Anwendungen: Schwingungen, Signalverarbeitung

Aufgaben

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben. Die Schwierigkeit der Aufgabe kann über das in Klammern angegebene Level gewählt werden. Führen Sie die folgende Zelle aus, indem Sie zunächst in die Zelle klicken und dann Steuerung und Enter gleichzeitig drücken. Dadurch erhalten Sie die Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1. Berechnen Sie anschließend die Lösung der Aufgabe mit Stift und Papier und geben Sie das berechnete Ergebnis in das Textfeld ein. Durch Klicken auf den Button “Überprüfen” können Sie Ihr Ergebnis überprüfen. Wenn Sie nicht weiterkommen, dann klicken Sie auf die Glühbirne, um einen Tipp zu erhalten.

Eingabehinweise zur Lösungsüberprüfung:


Es gilt:

  • $e^x \quad \rightarrow \quad$ exp(x)

  • $\sqrt{x} \quad \rightarrow \quad$ sqrt(x)

Teil A
# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 1 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Funktionen.Elementare_Funktionen.Aufgabe(level=1)
# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 2 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Funktionen.Elementare_Funktionen.Aufgabe(level=2)
# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 3 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Funktionen.Elementare_Funktionen.Aufgabe(level=3)
Teil B
# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 4 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Funktionen.Elementare_Funktionen.Aufgabe(level=4)
# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 5 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Funktionen.Elementare_Funktionen.Aufgabe(level=5)
Funktionen
Translation Und Spiegelung
Funktionen
Polynomdivision