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Funktionen¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x$ = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.

# Führen Sie diese Zelle aus. Damit erhalten Sie nochmal alle Hinweise zu den nötigen Eingaben
Spickzettel()

Translation von Funktionen¶

Die im Folgenden dargestellten Zusammenhänge für die Translation, Skalierung und Spiegelung von Funktionen gelten für beliebige Funktionen $f$.

Verschiebung in Richtung der $y$-Achse¶

$f(x)+k = \left\{ \begin{array}{ll} k>0: & \text{Verschiebung um } k \text{ Einheiten nach oben}\\ k<0: & \text{Verschiebung um } k \text{ Einheiten nach unten} \end{array} \right. $

Führen Sie die folgende Zelle aus, um diesen Zusammenhang zu veranschaulichen. Nutzen Sie dazu den Schieberegler und stellen Sie verschiedene Werte für $k$ ein.

# Führen Sie diese Zelle durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter aus
Demo.Verschiebung_der_y_Achse()

Verschiebung in Richtung der $x$-Achse¶

$f(x+k) = \left\{ \begin{array}{ll} k<0: & \text{Verschiebung um } k \text{ Einheiten nach rechts}\\ k>0: & \text{Verschiebung um } k \text{ Einheiten nach links} \end{array} \right. $

# Führen Sie diese Zelle aus, um diesen Zusammenhang zu veranschaulichen
Demo.Verschiebung_der_x_Achse()

Skalierung von Funktionen¶

Skalierung in vertikaler Richtung¶

$k \cdot f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} k>1: & \text{Vertikale Streckung um } k\\ k\in (0,1): & \text{Vertikale Stauchung um } k \end{array} \right. $

# Führen Sie diese Zelle aus, um diesen Zusammenhang zu veranschaulichen
Demo.Skalierung_der_y_Achse()

Bei einer Skalierung in vertikaler Richtung bleiben die Nullstellen (also die Schnittpunkte der Funktion mit der $x$-Achse) sowie die $x$-Werte der Extremstellen (also der Hoch- und Tiefpunkte der Funktion) gleich. Dagegen ändern sich die $y$-Werte der Extremwerte.

Skalierung in horizontaler Richtung¶

$f(k \cdot x) = \left\{ \begin{array}{ll} k>1: & \text{Horizontale Stauchung um } \frac{1}{k}\\ k\in (0,1): & \text{Horizontale Streckung um } \frac{1}{k} \end{array} \right. $

# Führen Sie diese Zelle aus, um diesen Zusammenhang zu veranschaulichen
Demo.Skalierung_der_x_Achse()

Bei einer Skalierung in horizontaler Richtung bleiben die $y$-Werte der Extremstellen (also der Maxima und Minima der Funktion) gleich. Dagegen ändern sich die Nullstellen (also die Schnittpunkte der Funktion mit der $x$-Achse) sowie die $x$-Werte der Hoch- und Tiefpunkte.

Spiegelung von Funktionen¶

$-f(x)\quad : \quad$ Spiegelung an der $x$-Achse
$f(-x)\quad : \quad$ Spiegelung an der $y$-Achse

# Führen Sie diese Zelle aus, um diesen Zusammenhang zu veranschaulichen
Demo.Spiegelung()

Aufgabe¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen. Die Schwierigkeitsstufe ist dabei als Level jeweils in der Klammer angegeben. Führen Sie die folgenden Zellen aus, indem Sie jeweils in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe und tippen Sie Ihr Ergebnis zur Überprüfung ein.

Eingabehinweise zur Lösungsüberprüfung:

Es gilt:

$e^x \quad \rightarrow \quad$ exp(x)
$\sqrt{x} \quad \rightarrow \quad$ sqrt(x)

Teil A¶

# Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Translation_und_Spiegelung.Aufgabe(level=1)

Teil B¶

# Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Translation_und_Spiegelung.Aufgabe(level=2)

# Generiere Aufgabe mit Level 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Translation_und_Spiegelung.Aufgabe(level=3)

Beispiel zu Translation und Spiegelung von Funktionen¶

Spiegeln Sie die Funktion $f(x)=(x+2)^2-1$ zunächst an der $x$ -Achse und verschieben Sie die Funktion anschließend um 4 Einheiten nach rechts.

Darstellung der Funktion

Überlegen Sie sich in einem ersten Schritt, wie die Funktion $f(x)$ aussieht. Die Antwort erhalten Sie, wenn Sie auf den Stift klicken.

In einem nächsten Schritt wollen wir die Funktion mittels SymPy darstellen. Da wir jeweils den Scheitelpunkt ablesen wollen, bietet es sich an, ein Gitter im Koordinatensystem anzuzeigen. Das können wir in SymPy leider nur über einen Umweg machen. Führen Sie die folgende Code-Zelle aus. Dadurch steht uns in diesem Notebook die plot-Funktion von Sympy zur Verfügung und es wird in allen weiteren Plots in diesem Notebook ein Gitter im Koordinatensystem angezeigt.

from sympy import plot
from matplotlib import style
style.use('seaborn-whitegrid')

Versuchen Sie nun in der folgenden Code-Zelle die gegebene Parabel $f(x)=(x+2)^2-1$ zu plotten. Schränken Sie den dargestellten Bereich auf der $x$ - und $y$ -Achse so ein, dass Sie den Scheitelpunkt ablesen können. Wenn Sie nicht weiter kommen, dann können Sie auf die drei Punkte klicken. Dadurch öffnet sich eine Code-Zelle, die Sie nur noch ausführen müssen, um die Parabel darzustellen.

Hinweis: Wenn Sie nicht mehr wissen, wie man in SymPy Funktionsplots erstellt, dann können Sie z.B. in den Notebooks 01_Grundbegriffe.ipynb , 03_Quadratische_Funktionen.ipynb oder 04_Polynome.ipynb nachsehen.

# Schreiben Sie in diese Zelle den entsprechenden plot-Befehl und führen Sie die Zelle aus

# Beispielcode zur Darstellung der Parabel
plot((x+2)**2-1, (x,-7.5,7.5),ylim=(-2,4))

Spiegelung der Funktion an der $x$ -Achse

Für die durch Spiegelung neu entstehende Funktion $g_1(x)$ gilt:
$g_1(x) = - f(x)$
$g_1(x) = - \left[(x+2)^2-1\right]$
$g_1(x) = - (x+2)^2+1$
Der Scheitelpunkt der Parabel $g_1$ liegt also bei $S_1(-2|1)$ .
Stellen Sie nun mit Hilfe der nächsten Code-Zelle die ursprüngliche Funktion $f(x)$ und die Funktion $g_1(x)$ dar. Schränken Sie den dargestellten Bereich wieder so ein, dass die Scheitelpunkte abgelesen werden können. Durch Klicken auf die drei grauen Punkte unter der Code-Zelle können Sie wiederum den Beispielcode öffnen.

# Schreiben Sie in diese Zelle den entsprechenden plot-Befehl und führen Sie die Zelle aus

# Beispielcode zur Darstellung der ursprünglichen und der gespiegelten Parabel
plot((x+2)**2-1, -(x+2)**2+1, (x,-7.5,7.5),ylim=(-3,3),legend=True)

Verschiebung nach rechts

In einem zweiten Schritt soll die Funktion $g_1$ um vier Einheiten nach rechts verschoben werden. Es gilt:
$g_2(x)=g_1(x-4) = -\left((x-4)+2\right)^2+1$
$\qquad\qquad\qquad~~ = -(x-2)^2+1$
Der Scheitelpunkt der Parabel $g_2$ liegt demnach bei $S_2(2|1)$ .
Stellen Sie nun auch noch diese Parabel mit den zwei vorhergehenden zusammen dar.

# Schreiben Sie in diese Zelle den entsprechenden plot-Befehl und führen Sie die Zelle aus

# Beispielcode zur Darstellung der drei Parabeln
plot((x+2)**2-1, -(x+2)**2+1, -(x-2)**2+1, (x,-7.5,7.5),ylim=(-3,3),legend=True)

Funktionen

Polynome

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