Funktionen¶

Rechenoperationen:

Multiplikation:  *

Division und Brüche:  /

Eingabe von Potenzen:  **

Eingabe eines Kommas als Punkt:  .

Eine Zelle ausführen:  Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x$ = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.

Quadratische Funktionen¶

Das Schaubild einer quadratischen Funktion wird auch Parabel genannt.

Formen quadratischer Funktionen:

Normalform einer Parabel: $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x) = ax^2 + bx +c$

Produktform einer Parabel: $\ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \ \ \ \ \ \ \$ mit $x_1$, $x_2$: Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse

Scheitelpunktform einer Parabel: $\ \ \ f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S \ \ \ \ \ \ \ \ \$ mit $S(x_S|y_S)$: Koordinaten des Scheitelpunktes

Im Video “Formen quadratischer Funktionen” unter https://youtu.be/H8baR_rhkk4 werden die drei Formen nochmal erklärt und an einem Beispiel ineinander überführt.

Wenn Ihnen die Methode der quadratischen Ergänzung nichts sagt, dann klicken Sie auf das Smiley.

Beispiel 1:

Wir wenden die Methode der quadratischen Ergänzung an:

$x^2 -8x +11 = \color{red}{x^2} - \color{blue}{2\cdot 4x} \ + \color{orange}{4^2} - \color{orange}{4^2} + 11$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{a^2} - ~~\color{blue}{2ab} ~~~+ \color{orange}{b^2} - \color{orange}{b^2} + 11$

$= \color{red}{x^2} - \color{blue}{8x} + \color{orange}{4^2} - \color{orange}{4^2} + 11$

$= (\color{red}{x} - \color{orange}{4})^2 - \color{orange}{4^2} + 11$

$= (x - 4)^2 - 5$

$\rightarrow$ der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)$ liegt bei $S(4|-5)$

Wir wollen nun noch die Parabel zeichnen, um zu überprüfen, ob der bestimmte Scheitelpunkt korrekt ist. Wir hatten bereits im ersten Notebook zu Funktionen eine Funktion mit Hilfe von SymPy dargestellt (siehe Notebook 01_Grundbegriffe.ipynb). Wir gehen zunächst einmal analog dazu vor.

Wie Sie hier sehen, wird die Funktion im Intervall $x \in [-10; 10]$ dargestellt. Das ist auch der Bereich, in dem SymPy die Funktion für die Erstellung des Graphen standarmäßig auswertet. Intern erstellt SymPy also eine Wertetabelle und berechnet Funktionswerte für viele verschiedene $x$-Werte in diesem Intervall. Diese werden dann zur Darstellung der Funktion verwendet ganz analog wie Sie es machen würden, wenn Sie die Funktion mit Stift und Papier zeichnen müssten.

Um den Scheitelpunkt ablesen zu können, ist es sinnvoll einen kleineren Bereich der Funktion darzustellen. Um SymPy zu sagen, dass die Funktion in einem kleineren Bereich ausgewertet (und damit auch dargestellt) werden soll, kann die Option (x,a,b) hinzugefügt werden (als Beispiel siehe nächste Zelle), wobei $a$ und $b$ die Grenzen des Intervalls sind, in dem die Funktion ausgewertet wird.

Beispiel 2:

Im Vergleich zu Beispiel 1 steht bei der hier gegebenen Funktion der Faktor $\frac{1}{2}$ vor $x^2$. Dadurch kann die Methode der quadratischen Ergänzung nicht direkt angewendet werden. Wir klammern in diesen Fällen zunächst den Faktor vor $x^2$ aus und erhalten:
$f(x) = \frac{1}{2}\left(x^2 - 6x + 8\right)$

In einem nächsten Schritt können wir nun für den Ausdruck in der Klammer die quadratische Ergänzung durchführen:
$f(x) = \frac{1}{2}\left(\color{red}{x^2} - \color{blue}{2\cdot 3x} + \color{orange}{3^2} - \color{orange}{3^2} + 8\right)$
$\qquad\qquad \color{red}{a^2} - ~~\color{blue}{2ab} ~+ \color{orange}{b^2} - \color{orange}{b^2} + 8$

$f(x) = \frac{1}{2}\left((x-3)^2 -9 + 8 \right)$

$f(x) = \frac{1}{2}\left((x-3)^2 -1 \right)$

Um auf die Scheitelpunktform zu kommen und den Scheitelpunkt direkt ablesen zu können, müssen wir als letzten Schritt noch den Faktor $\frac{1}{2}$ mit der äußeren Klammer multiplizieren:
$f(x) = \frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{1}{2}$

Damit liegt der Scheitelpunkt dieser Parabel bei $S(3|-\frac{1}{2})$.

Versuchen Sie nun in der folgenden Code-Zelle die Parabel zu plotten. Überlegen Sie sich dazu auch, welcher Achsenbereich zum Plotten sinnvoll ist. Wenn Sie nicht weiter kommen, dann klicken Sie auf die drei grauen Punkte. Dort öffnet sich eine Code-Zelle, die Sie einfach ausführen können, um das Ergebnis zu erhalten.

Aufgaben:¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben. Die Schwierigkeit der Aufgabe kann über das in Klammern angegebene Level gewählt werden. Führen Sie die folgende Zelle aus, indem Sie zunächst in die Zelle klicken und dann Steuerung und Enter gleichzeitig drücken. Dadurch erhalten Sie die Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1. Berechnen Sie anschließend die Lösung der Aufgabe mit Stift und Papier und geben Sie das berechnete Ergebnis in das Textfeld ein. Durch Klicken auf den Button “Überprüfen” können Sie Ihr Ergebnis überprüfen. Wenn Sie nicht weiterkommen, dann klicken Sie auf die Glühbirne, um einen Tipp zu erhalten.

Teil A¶

Teil B¶