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Gleichungen¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x$ = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Sie können in eine neue Codezelle immer Spickzettel() schreiben und die Zelle ausführen. Dann erhalten Sie das Handwerkszeug für das Notebook nochmals direkt.

Quadratische Gleichungen¶

Quadratische Gleichungen haben die Form

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$ mit $a \neq 0$

Die Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

$x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}$

Der Ausdruck $ b^2 - 4ac $ gibt die Anzahl der reellen Lösungen an:

$b^2 - 4ac > 0$ : Die Gleichung besitzt zwei reelle Lösungen

$b^2 - 4ac = 0$ : Die Gleichung besitzt eine reelle Lösung: $x = \frac{-b}{2a}$

$b^2 - 4ac < 0$ : Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung

Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung der p-q-Formel. Dafür muss die Gleichung so umgeformt werden, dass kein Faktor vor $ x^2 $ steht!

$x^2 + px + q = 0$

Dann gilt:

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q}$

Beispiel für die Verwendung der Mitternachtsformel:

$x^2 + 10x + 9 = 0$

$x_{1/2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2}$

$= \frac{-10 \pm 8}{2}$

$x_{1} = -9$

$x_{2} = -1$

Sonderfall 1

Für $c = 0$ vereinfacht sich die Gleichung zu $ax^2 + bx = 0$

$x \cdot (ax + b) = 0$ Ausklammern von $x$

Achtung! $x = 0$ ist möglich. Es darf nicht durch 0 dividiert werden!

Nullproduktsatz: Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Damit ist hier:

$x_{1} = 0$

$x_{2} = -\frac{b}{a}$

Sonderfall 2

Für $b = 0$ vereinfacht sich die Gleichung zu $ax^2 + c = 0$

$ax^2 = -c$

$x^2 = \frac{-c}{a}$

$x_1 = + \sqrt{\frac{-c}{a}}$
$x_2 = - \sqrt{\frac{-c}{a}}$

Beispiel:

$5x^2 -125 = 0$
$5x^2 = 125$
$x^2 = \frac{125}{5} = 25$

$x_1 = +\sqrt{25} =5$
$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Aufgaben¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben. Die Schwierigkeit der Aufgabe kann über das in Klammern angegebene Level gewählt werden. Führen Sie die folgende Zelle aus, indem Sie zunächst in die Zelle klicken und dann Steuerung und Enter gleichzeitig drücken. Dadurch erhalten Sie die Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1. Berechnen Sie anschließend die Lösung der Aufgabe mit Stift und Papier und geben Sie das berechnete Ergebnis in das Textfeld ein. Durch Klicken auf den Button “Überprüfen” können Sie Ihr Ergebnis überprüfen. Wenn Sie nicht weiterkommen, dann klicken Sie auf die Glühbirne, um einen Tipp zu erhalten.

Teil A¶

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 1 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=1)

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 2 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=2)

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 3 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=3)

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 4 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=4)

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 5 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=5)

Teil B¶

# Generiere Aufgabe mit Schwierigkeitsstufe 6 durch gleichzeitiges Drücken von Steuerung und Enter
Gleichungen.Quadratische_Gleichungen.Aufgabe(level=6)

Zerlegung in Linearfaktoren¶

Jedes quadratische Polynom der Form

$ax^2 + bx + c$ mit den Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ lässt sich in Linearfaktoren zerlegen:

$ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_{1})(x - x_{2})$

Beispiel:

Folgendes Polynom soll in Linearfaktoren zerlegt werden:

$3x^2 +3x - 6 = 0$

Hierzu werden zunächst die Nullstellen bestimmt:

$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{6} = \frac{-3 + 9}{6} = 1$

$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{6} = \frac{-3 - 9}{6} = -2$

Dadurch ergibt sich:

$3x^2 +3x - 6 = 3 \cdot (x-1)(x+2)$

Der Faktor 3 vor dem $x^2$ muss extra berücksichtig werden.

Als Probe kann ausmultipliziert werden:

$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x -2$

das heißt: $3 \cdot (x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 3x - 6$

Schema zum Lösen von Gleichungen¶

Die Lösungsmenge einer Gleichung verändert sich nicht, wenn auf beiden Seiten

dieselbe Zahl addiert/subtrahiert wird
mit derselben Zahl multipliziert/durch dieselbe Zahl dividiert (aber ohne 0!) wird
Funktionen wie Logarithmus, Exponentialfunktion... angewandt werden
differenziert/integriert wird

Beispiel: $F_{N} = m \cdot g \cdot cos(\alpha)$

Auflösen nach $m$ :

$F_{N} = m \cdot g \cdot cos(\alpha) \ \ \ \ \ \ | :g$

$\frac{F_{N}}{g} = m \cdot cos(\alpha) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | :cos(\alpha)$

$\frac{F_{N}}{g \cdot cos(\alpha)} = m$

Auflösen nach $\alpha$ :

$F_{N} = m \cdot g \cdot cos(\alpha) \ \ \ \ \ \ | :(m \cdot g)$

$\frac{F_{N}}{m \cdot g} = cos(\alpha) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | :arccos$ anwenden

$arccos (\frac{F_{N}}{m \cdot g}) = arccos(cos(\alpha))$

$arccos (\frac{F_{N}}{m \cdot g}) = \alpha$