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Funktionen¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x$ = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.

# Führen Sie diese Zelle aus. Damit erhalten Sie nochmal alle Hinweise zu den nötigen Eingaben
Spickzettel()

Potenzfunktionen¶

Funktionen der Form $ f(x) = x^n $ für $ n = 3, 4, 5, 6 ...$ werden Potenzfunktionen genannt.
Man unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Exponenten $n$.

Symmetrieeigenschaften¶

Gerade Exponenten¶

Für gerade $n$ gilt: $f(-x) = f(x)$ $\qquad \rightarrow \qquad$ Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur $y$ -Achse. Man nennt die Funktion auch gerade Funktion.

Beispiele dafür sind: $f(x) = x^2$ , $f(x) = x^4$ , $f(x) = x^6$

Zur besseren Veranschaulichung wollen wir diese drei Funktionen zusammen in einem Schaubild darstellen. Wir verwenden dafür wieder SymPy und nutzen das Wissen aus den vorhergehenden Notebooks (siehe 01_Grundbegriffe.ipynb und 03_Quadratische_Funktionen.ipynb). Zur Darstellung mehrerer Funktionen in einem Schaubild können wir einfach mehrere Funktionsdefinitionen durch Kommas getrennt in den plot-Befehl schreiben.

from sympy import* # Import der gesamten SymPy-Bibliothek, so dass alle Funktionen in diesem Notebook zur Verfügung stehen
from sympy.plotting import plot # Import der Funktion 'plot' aus der Bibliothek sympy.plotting.

x = symbols('x') # Definition einer Variablen x
plot(x**2,x**4,x**6) # Darstellung der Funktionen

# Führen Sie diese Zelle aus, um die Abbildung zu erhalten

Aufgrund des großen Wertebereiches auf der $y$ -Achse, sind leider zwei der drei dargestellten Funktionen kaum zu erkennen. Wir wollen daher den dargestellten Wertebereich auf der $y$ -Achse einschränken. Dafür verwenden wir die Option ylim im plot-Befehl (siehe nächste Code-Zelle).

plot(x**2,x**4,x**6, ylim=(0,60))  # Einschränken der y-Achse auf den Bereich 0 <= y <= 60

Jetzt ist schon deutlich mehr auf der Abbildung zu sehen. Es stellt sich nur die Frage, welche Funktion in welcher Farbe dargestellt wurde bzw. welcher Graph zu welcher Funktionsvorschrift gehört. Um diese Frage zu beantworten, können wir mit der Option legend=True noch eine Legende in der Abbildung hinzufügen.

plot(x**2,x**4,x**6, ylim=(0,60), legend=True)  # Einschränken der y-Achse auf den Bereich 0 < y < 60 und Hinzufügen einer Legende

Ungerade Exponenten¶

Für ungerade $n$ gilt: $f(-x) = -f(x)$ $\qquad \rightarrow \qquad$ Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Man nennt die Funktion auch ungerade Funktion.

Beispiele dafür sind: $f(x) = x^3$ , $f(x) = x^5$ , $f(x) = x^7$

Versuchen Sie, auch diese Funktionen mittels Sympy darzustellen. Wenn Sie nicht weiter kommen, dann klicken Sie auf die drei grauen Punkte. Dort öffnet sich eine Code-Zelle, die Sie einfach ausführen können, um das Ergebnis zu erhalten.

# Schreiben Sie in diese Zelle den entsprechenden plot-Befehl und führen Sie die Zelle aus

# Beispielcode zur Darstellung von x^3, x^5 und x^7
plot(x**3,x**5,x**7, ylim=(-50,50), legend=True)

Polynome¶

Funktionen der Form

f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0

(1)

mit $a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ , heißen Polynome. Die höchste Potenz $n$ heißt Grad des Polynoms.

Die Zahlen $a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ heißen Koeffizienten des Polynoms.

Polynome spielen in der Anwendung eine große Rolle, da sie oft als Näherung für “kompliziertere” Funktionen verwendet werden.

Beispiele:

$f(x) = - 0,3x^5 + \frac{3}{7}x$ Polynom vom Grad 5
$K(x) = 0,9x^3 - 11x^2 +52x +100$ Polynom vom Grad 3 (Kostenfunktion, die die Gesamtkosten $K$ in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl $x$ angibt)

Aufgaben¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen. Die Schwierigkeitsstufe ist dabei als Level jeweils in der Klammer angegeben. Führen Sie die folgenden Zellen aus, indem Sie jeweils in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe und tippen Sie Ihr Ergebnis zur Überprüfung ein.

Teil A¶

#Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Polynome.Aufgabe(level=1)

#Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Polynome.Aufgabe(level=2)

Teil B¶

#Generiere Aufgabe mit Level 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Funktionen.Polynome.Aufgabe(level=3)

Nullstellen von Funktionen¶

$x_n \in D$ mit $f(x_n)=0$ heißt Nullstelle von $f$ .

Dies sind die Stellen auf der $x$ -Achse, in denen der Graph von $f$ die $x$ -Achse schneidet.

Nullproduktsatz:

f(x)\cdot g(x) = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad f(x) = 0

oder

g(x)=0

Ein Produkt von Funktionen ist Null, wenn mindestens eine der Funktionen Null ist.

Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, muss die Funktionsvorschrift gleich Null gesetzt werden und die Gleichung nach $x$ aufgelöst werden.

Beispiele:

$\quad f(x)=3x-6$ hat eine Nullstelle bei $x_N=2$.
$\quad f(x)=x^2+3x = x(x+3)$ hat Nullstellen bei $x_N=0$ und $x_N=-3$.
$\quad f(x)=x^2-4 = (x-2)(x+2)$ hat Nullstellen bei $x_N=2$ und $x_N=-2$.