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Rechnen mit Wurzeln

Handwerkszeug für dieses Notebook:

Rechenoperationen:

Multiplikation:  *

Division und Brüche:  /

Eingabe von Potenzen:  **

Eingabe eines Kommas als Punkt:  .

Eine Zelle ausführen:  Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: x= \sqrt{x} = sqrt(x) und n-te Wurzeln: xn= \sqrt[n]{x} = x**(1/n)

e e -Funktion: ex e^x = exp(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Sie können in eine neue Codezelle immer Spickzettel() schreiben und die Zelle ausführen. Dann erhalten Sie das Handwerkszeug für das Notebook nochmals direkt.

Anwendungsbeispiel   –   Zusammenhang zwischen Potenz- und Wurzelrechnung

In einer Nährlösung befinden sich zu Beginn einer Beobachtung 50 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien nimmt pro Stunde jeweils um das Vierfache zu. Wie viele Bakterien befinden sich nach drei Stunden in der Lösung?

Mit Hilfe der Potenzrechnung aus dem vorherigen Notebook, wissen Sie, wie Sie die Anzahl der Bakterien nach drei Stunden elegant bestimmen können.

Klicken Sie für das Ergebnis auf die Glühbirne:

💡

50 \cdot 4^3 = 3200

In einer anderen Kultur waren zu Beginn ebenfalls 50 Bakterien vorhanden. Nach fünf Stunden werden dort 388800 Bakterien gezählt. Um welchen Faktor vermehren sich die Bakterien in dieser Kultur pro Stunde?

Um auf diesen Wert zu kommen, stellen Sie folgende Gleichung auf:

50⋅x5=388800 50 \cdot x^5 = 388800

Im ersten Teil der Aufgabe haben Sie Potenzrechnung verwendet: Im Idealfall haben Sie in die erste Zelle zur Berechnung Folgendes eingetippt: 50 \cdot 4^3 und damit für Basis und Exponenten eine Zahl eingesetzt.

Nun wollen Sie die Basis bestimmen. Dafür benötigen Sie den richtigen Umgang mit Wurzeln.

x=388800505=6 x = \sqrt[5]{\frac{388800}{50}} = 6

Definitionen

  Eine eindeutige Lösung $ x $ der Gleichung

  x^n = a    ist

  x = \sqrt[n]{a}        mit a \geq 0 und x \ge 0

  $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $

  Wurzeln sind Potenzen mit rationalem Exponenten. Es gelten die Potenzgesetze.

  (a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a

  Für $ n = 2 $ schreibt man:    $ \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $

Beispiel 1:

412⋅412=412+12=4=4⋅4=(4)2 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{4})^2

  $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot $ ... $ \cdot \sqrt[n]{a} = (\sqrt[n]{a})^n = a$

Beispiel 2:

41n⋅41n⋅41n⋅ 4^{\frac{1}{n}} \cdot 4^{\frac{1}{n}} \cdot 4^{\frac{1}{n}} \cdot ... ⋅41n=(41n)n=4n⋅1n=4=(4n)n \cdot 4^{\frac{1}{n}} = (4^\frac{1}{n})^{n} = 4^{n \cdot \frac{1}{n}} = 4 = (\sqrt[n]{4})^{n}

Alle Definitionen werden im Video “Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln” unter https://youtu.be/UQYAwpjTPXo nochmals erklärt.

Aufgabe

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen. Die Schwierigkeitsstufe ist dabei als Level jeweils in der Klammer angegeben. Führen Sie die folgenden Zellen aus, indem Sie jeweils in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe und tippen Sie Ihr Ergebnis zur Überprüfung ein.

Teil A
#Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Wurzeln.Definition.Aufgabe(level=1)
#Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Wurzeln.Definition.Aufgabe(level=2)
Teil B
#Generiere Aufgabe mit Level 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Wurzeln.Definition.Aufgabe(level=3)
#Generiere Aufgabe mit Level 4 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Wurzeln.Definition.Aufgabe(level=4)
Vektorrechnung
Anwendung Skalarprodukt
Wurzeln
Rechenregeln