Anwendungen der Vektorrechnung¶

Simulation zur Orthogonalität zweier Vektoren¶

Klicken Sie in die folgende Zelle und führen Sie aus, indem Sie Shift und Enter gleichzeitig gedrückt halten. Damit öffnet sich im Notebook die Simulation zur Orthogonalität zweier Vektoren. Lesen Sie den Text dort und beantworten Sie anschließend die Fragen.
Falls dies bei Ihnen nicht funktionieren sollte, können Sie alternativ auf den Link in der darauffolgenden Zelle klicken und die Simulation in einem neuen Tab öffnen.

Beachten Sie, dass die Formel $\alpha=\arccos (\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|})$ 𝑟𝑎𝑑 für den Winkel $\alpha$ in dem Applet nur für 𝛼 zwichen 0° und 180° gültig ist.

Falls die Simulation mit dem Ausführen der oberen Zelle nicht funktioniert, können Sie auf den Link https://www.geogebra.org/m/cwvmhvn8 klicken und finden dort die kleine Demo zur Orthogonalität zweier Vektoren. Lesen Sie den Text und beantworten Sie die Fragen.

Anwendung: Kräfte in der Statik¶

a. Winkel zwischen Vektoren (z.B. zwischen Kräften in der Statik)
Gegeben sind zwei Kräfte $\vec{F_1} \left(\begin{matrix} 20 \ N \\ 100 \ N \end{matrix}\right)$ und $\vec{F_2} \left(\begin{matrix}80\ N \\ 30\ N \end{matrix}\right)$. Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen ihnen?

$\alpha= \arccos(\frac{\vec{F_1} \cdot \vec{F_2}}{|\vec{F_1}| \cdot |\vec{F_2}|})$

$\vec{F_1} \cdot \vec{F_2}= F_{1x}F_{2x}+ F_{1y}F_{2y}= 20 \cdot 80 + 100 \cdot 30=1600+3000=4600 \ N^2$
$|\vec{F_1}|=\sqrt{20^2+100^2}=102 \ N \ ;\ \ |\vec{F_2}|=\sqrt{80^2+30^2}= 85\ N$

Der Winkel zwischen $\vec{F_1}$ und $\vec{F_2}$ ist also: $\alpha= \arccos(\frac{4600}{102 \cdot 85})= 1.0115 \ \text{rad}= 58 °$

b. Berechnung der verrichteten Arbeit in der Physik

In der Physik wird die Arbeit $W$ durch das Skalarprodukt aus Kraft $\vec{F}$ und Strecke $\vec{s}$ mit $W =\vec{F} \cdot \vec{s}$ ermittelt. Die Einheit der Arbeit $W$ ist $N \cdot m = J$
Ein Spediteur schiebt eine Kiste mit der Kraft $\vec{F} \left(\begin{matrix} 100 \ N \\ 0 \ N \end{matrix}\right)$ eine Rampe hinauf $\vec{s}=\left(\begin{matrix}4 \ m \\3 \ m \end{matrix}\right)$ .
Gesucht ist die Arbeit $W$, die von der Kraft $\vec{F}$ verrichtet wird.

Anwendung: Kiste auf einer Rampe¶

Ein Spediteur schiebt eine Kiste mit der Kraft $\vec{F}=\left(\begin{matrix}F_{x}\\ F_{y} \end{matrix}\right)$ längs eines Weges $\vec{s}=\left(\begin{matrix}s \cdot cos(\alpha) \\s \cdot sin(\alpha) \end{matrix}\right)$ eine Rampe unter dem Winkel $\alpha$ hinauf.

Der Energieunterschied des Systems entspricht der verrichteten Arbeit $W =\vec{F} \cdot \vec{s}$, die von der Kraft $\vec{F}$ verrichtet wird.

Aufgaben¶

Generieren Sie sich Aufgaben zum Üben, indem Sie in die folgenden Zellen klicken und Shift und Enter gleichzeitig gedrückt halten. Bearbeiten Sie die Aufgaben dann mit Stift und Papier und geben Ihre Lösung ein.

Teil B¶

Level 1: Horizontale Kraft und Weg (in die gleiche Richtung)

Level 2: Horizontale (Reibungs-)Kraft und Weg in entgegengesetzter Richtung

Level 3: Horizontale Kraft

Level 4: Kraft und Weg parallel zueinander

Level 5: Allgemeiner Fall