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Skalarprodukt¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Sie können in eine neue Codezelle immer Spickzettel() schreiben und die Zelle ausführen. Dann erhalten Sie das Handwerkszeug für das Notebook nochmals direkt.

Definition¶

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist definiert durch: $$\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos(\alpha) $$ Dabei ist $\alpha$ ist der eingeschlossene Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
Achtung: Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist ein Skalar, also eine Zahl!!

Orthogonale Vektoren ($\alpha$=90°)¶

Für zwei zueinander senkrechte Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sei der Winkel $\alpha=90°$.
Es gilt für das Skalarprodukt: $ \vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos(90°)=0 $

Das Skalarprodukt zweier zueinander senkrechter Vektoren ist also null: $$ \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}= 0 $$

Winkel zwischen zwei Vektoren¶

Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist: $$\alpha= arcos(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})$$

Beweis:
Aus der Definition ergibt sich:

\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos(\alpha)

(1)

$\hspace{8cm}$ Also für $|\vec{a}| \neq 0$ und | $\vec{b}| \neq 0$ :

\Longrightarrow \cos(\alpha)= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}} {|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \Longrightarrow \alpha= arccos(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})

(2)

Berechnung des Skalarprodukts mit den Vektorkomponenten¶

a. In der Ebene

Die Berechnung des Skalarprodukts zweier zweidimensionaler Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y} \end{matrix}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{matrix}b_{x}\\ b_{y} \end{matrix}\right)$ erfolgt komponentenweise:

\vec{a} \cdot \vec{b}= \left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y} \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}b_{x}\\ b_{y} \end{matrix}\right) = a_{x}b_{x}+ a_{y} b_{y}

(3)

b. Im 3 dimensionalen Raum

Die Berechnung des Skalarprodukts zweier dreidimensionaler Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z} \end{matrix}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{matrix}b_{x}\\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}\right)$ erfolgt komponentenweise:

\vec{a} \cdot \vec{b}= \left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}b_{x}\\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}\right) = a_{x}b_{x}+ a_{y} b_{y}+ a_{z} b_{z}

(4)

Aufgaben¶

Generieren Sie sich Aufgaben zum Üben, indem Sie in die folgenden Zellen klicken und Shift und Enter gleichzeitig gedrückt halten. Bearbeiten Sie die Aufgaben dann mit Stift und Papier und geben Ihre Lösung ein.

Teil A¶

Skalarprodukt zu zweidimensionalen Vektoren

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 1 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=1)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 2 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=2)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 3 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=3)

Skalarprodukt zu dreidimensionalen Vektoren

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 4 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=4)

Teil B¶

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 5 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=5)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 6 zu erhalten
Vektorrechnung.Skalarprodukt.Aufgabe(level=6)

Weitere Aufgaben zur Berechnung des Skalarprodukts und zum Winkel zwischen zwei Vektoren

Teil A¶

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 1 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=1)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 2 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=2)

Teil B¶

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 3 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=3)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 4 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=4)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 5 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=5)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 6 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=6)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 7 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=7)

#Klicken Sie in die Zelle und halten Sie gleichzeitig Shift und Enter gedrück, um die Aufgabe mit Level 8 zu erhalten
Vektorrechnung.Winkel.Aufgabe(level=8)