Elementare Funktionen

Wurzelfunktion¶

• Nach Definition ist stets $\sqrt[n]{x} \ge 0$.
  

• Rechenregeln:

  • Definition von Wurzeln

  • Rechenregeln für Wurzeln

• Nullstelle: $x_N = 0$

Betragsfunktion¶

Nullstelle: $x_N = 0$

Für $x>0$ entspricht der Funktionsgraph also einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung $m=1$ und für negative $x$-Werte einer Ursprungsgeraden mit Steigung $m=-1$.

Anwendungsbeispiel

Betragsfunktionen kommen zum Beispiel in der Berechnung von Punktabständen oder der Fehlerbetrachtung zur Anwendung. Wir wollen hier nun noch als Beispiel die Funktion $f_1(x)=|x-2|$ betrachten, die den Abstand einer Zahl zur Zahl 2 angibt.
Um uns zu überlegen, wie der Graph der Funktion aussieht, können wir uns die Translation von Funktionen zu nutze machen, die wir im Abschnitt Translation und Spiegelung kennengelernt haben.

• Als Ausgangsfunktion nehmen wir die Funktion $f(x)=|x|$ an.

• Es gilt: $f_1(x)=|x-2|=f(x-2) \qquad \rightarrow\qquad$ Es handelt sich also um eine Verschiebung um 2 Einheiten in positiver $x$-Richtung.

• Die Nullstelle liegt also bei $x_N=2$.

• Nutzen wir noch die oben gegebene Definition der Betragsfunktion so können wir schreiben:
  $\qquad f_1(x)=|x-2|=\left\{ \begin{array}{ll} x-2 & \text{für}\quad x \ge 2\\ -x+2 & \text{für}\quad x<2 \end{array} \quad\right.$

• Das Schaubild der Funktion $f_1(x)$ sieht wie folgt aus:

Exponential- und Logarithmusfunktion¶

• Nullstellen: keine
  

• Es gilt: $e^0=1$ und $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$
  

• Anwendungen für $e^x$: Wachstums- und Zerfallsprozesse

• Nullstelle: $x_N$ = 1
  

• Anwendungen für $\ln(x)$: Halbwertszeiten
  

• Rechenregeln:

  • Definition von Logarithmen

  • Logarithmengesetze

Am Beispiel der Exponential- und Logarithmusfunktion bedeutet das:

• $y = f(x) = e^x$

• Zur Bestimmung der Umkehrfunktion müssen wir diese Gleichung nach $x$ auflösen. Wir logarithmieren dazu beide Seiten der Gleichung und erhalten:
  $\ln(y) = \ln(e^x) = x$ und damit $f^{-1}(y) = \ln(y)$

Folgendes gilt es zu beachten:

• $\ln(e^x) = x$ ist definiert für alle $x \in \mathbb{R}$ (da der Definitionsbereich der Exponentialfunktion der Menge der reellen Zahlen entspricht).

• $e^{\ln(x)} = x$ ist definiert für alle $x \in \mathbb{R}_+$ (da der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion nur der Menge der positiven reellen Zahlen (ohne Null) entspricht).

Trigonometrische Funktionen¶

Die Definition von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck können Sie noch einmal im Abschnitt Trigonometrie nachsehen.

Wiederholt sich der Graph, so sagt man “die Funktion ist periodisch”.

• Nullstellen der Sinusfunktion: $~~~\quad x_k = k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$

• Nullstellen der Kosinusfunktion: $\quad x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$

• Anwendungen: Schwingungen, Signalverarbeitung