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Geradenform¶

Übrigens: Kennen Sie dieses Zeichen $\Delta$ ? Wenn nicht, dann klicken Sie auf das Smiley.

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Dieses Zeichen ist der griechische Großbuchstabe Delta. In der Mathematik wird er oft in Variablennamen verwendet, um kenntlich zu machen, dass es sich bei der entsprechenden Variablen um eine Größe handelt, die aus einer Differenz abgeleitet wurde. $\Delta y$ entspricht zum Beispiel der Differenz der beiden $y$ -Koordinaten $y_2-y_1$ . Analog dazu ist $\Delta x = x_2-x_1$ . Dabei ist “ $\Delta y$ ” also in diesem Fall ein zusammenhängender Variablenname und KEINE Multiplikation aus zwei Variablen $\Delta$ und $y$ . Gleiches gilt für “ $\Delta x$ ”.

Wir unterscheiden drei Fälle, je nach Wert der Steigung $m$ :

$m>0$	$m<0$	$m=0$
Die Gerade ist streng monoton wachsend.	Die Gerade ist streng monoton fallend.	Die Gerade ist eine Konstante.
Für $x_1 < x_2$ ist $f(x_1) < f(x_2)$ .	Für $x_1 < x_2$ ist $f(x_1) > f(x_2)$ .	Für $x_1 < x_2$ ist $f(x_1) = f(x_2)$ .

Lage zweier Geraden¶

Bezüglich der Lage zweier Geraden zueinander unterscheidet man drei Fälle:

Zwei Geraden haben einen Schnittpunkt, falls ihre Steigungen $m_1$ und $m_2$ ungleich sind ( $\color{orange}{m_1} \color{orange}{≠} \color{orange}{m_2}$ ):

Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt bzw. sind parallel, falls ihre Steigungen $m_1$ und $m_2$ gleich und ihre $y$ -Achsenabschnitte $b_1$ und $b_2$ ungleich sind ( $\color{orange}{m_1} \color{orange}{=} \color{orange}{m_2}$ und $\color{orange}{b_1} \color{orange}{≠} \color{orange}{b_2}$ ).

Zwei Geraden stehen senkrecht (orthogonal) aufeinander, falls das Produkt ihrer Steigungen $m_1$ und $m_2$ gleich -1 ist ( $\color{orange}{m_1} \color{orange}{\cdot}\color{orange}{m_2} \color{orange}{=} \color{orange}{-1}$ ).

Bestimmung der Geradengleichung¶

Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch die Angabe

zweier auf der Geraden liegender Punkte oder
eines auf der Geraden liegendes Punktes und der Steigung der Geraden.

Um die Geradengleichung zu bestimmen, können Sie in beiden Fällen die Normalform einer Geraden verwenden und die fehlenden Parameter durch Einsetzen der gegebenen Größen bestimmen. Wenn Ihnen das nicht klar ist, dann sehen Sie sich die im Folgenden gegebenen Beispiele an.

Gegeben: Zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Geraden

Gegeben seien die beiden Punkte $P_1(1|1)$ und $P_2(3|4)$ auf der Geraden. Um die Geradengleichung zu bestimmen, können wir wie folgt vorgehen:

Für beide Punkte $P_1$ und $P_2$ auf der Geraden muss die Geradengleichung $y_i = m\cdot x_i+b$ gelten. Wir setzen also die Koordinaten der beiden Punkte ein und erhalten:
$1 = m\cdot 1 + b$
$4 = m\cdot 3 + b$
Aus diesen beiden Gleichungen können nun die beiden unbekannten Parameter $m$ und $b$ bestimmt werden. Aus der ersten Gleichung erhalten wir z.B. $m=1-b$ . Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich:
$4 = (1-b)\cdot 3 + b \quad\Leftrightarrow\quad 4 = 3 -3b +b \quad\Leftrightarrow\quad 1 = -2b \quad\Leftrightarrow\quad b = -\frac{1}{2}$
Damit erhalten wir für $m=1-b=1-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$
Die Geradengleichung lautet damit: $y = \frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

Eine Alternative, um in diesem Fall die Geradengleichung zu bestimmen, ist die Zwei-Punkte-Form einer Geradengleichung. Wenn Sie mehr darüber wissen möchten, gibt Ihnen die Eule dazu Auskunft.

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Sind die beiden voneinander verschiedenen Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ gegeben, so ergibt sich nach dem zweiten Strahlensatz für einen beliebigen Punkt $P(x|y)$ auf der Geraden die Gleichung (siehe Skizze rechts):

$\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad \Rightarrow \qquad$ Zwei-Punkte-Form

Einsetzen der Koordinaten der beiden gegebenen Punkte und anschließendes Auflösen der Gleichung nach $y$ liefert die Normalform der gesuchten Gerade.

Verwenden wir die beiden zuvor gegebenen Punkte $P_1$ und $P_2$ als Beispiel, so erhalten wir:
$\frac{y-1}{x-1} = \frac{4-1}{3-1} \quad\Leftrightarrow\quad (y-1) = \frac{3}{2}(x-1) \quad\Leftrightarrow\quad (y-1) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \quad\Leftrightarrow\quad y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

Bemerkung: Es ist vollkommen ausreichend, wenn Sie eine der beiden Berechnungsmöglichkeiten kennen. Wählen Sie einfach diejenige aus, die Ihnen leichter fällt.

Gegeben: Ein Punkt auf der Geraden und deren Steigung

Eine zweite Alternative, um in diesem Fall die Geradengleichung zu bestimmen, ist die Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung. Wenn Sie mehr darüber wissen möchten, dann gibt Ihnen die Eule dazu Auskunft.

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Ist der Punkt $P_1(x_1|y_1)$ auf der Geraden gegeben, so gilt für die Steigung $m$ :

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y-y_1}{x-x_1}$ , wobei $x$ und $y$ die Koordinaten eines beliebigen Punktes $P$ auf der Geraden sind.

Auch hier kann man die gegebenen Werte einsetzen und anschließend die Gleichung nach $y$ auflösen.

Verwenden wir die zuvor gegebenen Größen als Beispiel, so erhalten wir:
$2 = \frac{y-3}{x-2} \quad\Leftrightarrow\quad 2(x-2) = (y-3) \quad\Leftrightarrow\quad (y-3) = 2x - 4 \quad\Leftrightarrow\quad y = 2x-1$

Bemerkung: Auch hier genügt es, wenn Sie eine der beiden Berechnungsmöglichkeiten kennen. Wählen Sie diejenige aus, die Ihnen leichter fällt.