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Wozu braucht man Funktionen?¶

Grundsätzlich ordnet eine Funktion einer Zahl genau eine andere Zahl zu.

Keine Naturwissenschaft kommt ohne Funktionen aus:

In der Biologie wird das Wachstum von Bakterienkulturen durch Funktionen ausgedrückt, in der Physik sind die Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze ein Beispiel, in der Chemie beschreiben Wellenfunktionen den quantenmechanischen Zustand von Elementarteilchen...

Aber auch im Alltag haben wir ständig mit Funktionen zu tun: Zuordnungen von Preisen von Produkten, Verschlüsselungsfunktionen verschlüsseln Geheimzahlen von Bankkarten und leiten sie an einen Server weiter, der Benzinverbrauch im Auto kann durch eine Funktion beschrieben werden...

Bewegen Sie sich in den nächsten Tagen mit offenen Augen durch Ihren Alltag: Wo könnte eine Funktion dahinter stecken?

In diesem und den folgenden Notebooks gibt es einen Überblick über das wichtige Thema Funktionen. Um die Länge der Notebooks überschaubar zu halten, sind die Erklärungen teilweise sehr knapp. Durch Klicken auf das Smiley mit Lupe 🧐 gibt es aber an vielen Stellen noch einmal eine genauere Erklärung der Sachverhalte.

Definition von Funktionen¶

In dieser Definition werden die mathematische Symbole $\mathbb{R}$ , $\in$ und $\subseteq$ verwendet. Wenn Ihnen die Bedeutungen dieser Symbole nicht mehr geläufig sind, dann klicken Sie auf das Smiley. Alle weiteren in der Definition verwendeten Bezeichnungen werden in den folgenden beiden Kästen erklärt.

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$\mathbb{R}$ : Menge der reellen Zahlen

Die beiden anderen Symbole kommen aus der Mengenlehre. Sie bedeuten in Worten:

$\in$ : ist Element von (also als Beipsiel: $x \in D$ heißt “ $x$ ist ein Element der Menge $D$ ”)
$\subseteq$ : ist Teilmenge von (als Beispiel: $D \subseteq \mathbb{R}$ heißt “ $D$ ist Teilmenge der reellen Zahlen”)

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Aber wie bestimme ich eigentlich den Definitions- und Wertebereich einer Funktion?

Zur Bestimmung des Definitionsbereichs ist folgende Frage hilfreich: Bei welchen

x

-Werten versagt die Funktion bzw. welche

x

-Werte darf man nicht in die Funktionsvorschrift einsetzen (siehe dazu auch Beispiel 3 im Folgenden). Diese

x

-Werte dürfen dann nicht im Definitionsbereich der Funktion enthalten sein.
Um den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen, ist folgende Frage nützlich: Welche

y

-Werte werden von der Funktion erzeugt und welche nicht? Alle Werte, die von der Funktion erzeugt werden können, bilden den Wertebereich.
Probieren Sie diese Fragen an den folgenden Beispielen einfach einmal aus.

Beispiele:

$f(x) = x^2 \quad x \in D = \mathbb{R}$ , $W = [0, ∞)$

Klicken Sie zur Erklärung auf den Smiley.

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In $f(x) = x^2$ kann man für $x$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen. Daraus ergibt sich als Definitionsbereich also die Menge der reellen Zahlen. Die Funktionswerte, die man erhält, sind aufgrund des Quadrates entweder null oder positiv, wodurch sich der angegebene Wertebereich ergibt.

Kugelvolumen: $\quad V(r) = \frac{4}{3} \pi r^3 \quad D = [0, ∞)$ , $W = [0, ∞)$

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Da es sich hier um die Berechnungsformel für das Volumen einer Kugel handelt, ist es sinnvoll, für den Radius $r$ nur positive reelle Zahlen und null zuzulassen. Dadurch erklärt sich der hier angegebene Definitionsbereich. Der Wertebereich umfasst dann ebenfalls nur positive reelle Zahlen einschließlich der Null.

$\quad f(x) = \frac{1}{x} \quad D = \mathbb{R} \setminus{\{0\}}$ , $W = \mathbb{R} \setminus{\{0\}}$

🧐

Diese Funktion ist für $x$ =0 nicht definiert, da man durch Null nicht teilen darf. Alle anderen reellen Zahlen können aber eingesetzt werden. Daher umfasst der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer Null. Das Ausschließen von Elementen aus der Menge der reellen Zahlen kann wie oben dargestellt über einen Backslash geschrieben werden. Die in den geschweiften Klammern aufgeführten Elemente (hier die Null) sind die Elemente, die aus der zuvor genannten Menge ausgeschlossen werden. Als Funktionswerte können dann ebenfalls alle reelle Zahlen außer Null auftreten.

Eine alternative Schreibweise für die Angabe des Definitions- und Wertebereiches einer Funktion ist folgende: $f: D \to W$
Beispiel 1 würde man damit schreiben als:
$f: \mathbb{R} \to [0, \infty)$
$\quad f(x)=x^2$

Funktionsgraphen: Darstellung von Funktionen¶

🧐

In dieser Definition stehen einige mathematische Kurzschreibweisen, die vielleicht noch nicht jeder kennt. Daher ist hier noch einmal die Definition aufgeführt. Darunter steht in Worten die Bedeutung der einzelnen Teile. Die Menge $D$ entspricht wieder der Definitionsmenge und die Menge $W$ der Wertemenge.

Beispiel:

$f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

Überlegen Sie zunächst kurz, wie der Funktionsgraph dieser Funktion aussieht.
Klicken Sie zur Veranschaulichung des Graphen auf die Glühbirne.

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Betrachten Sie die Funktion und überlegen Sie, welchen Definitions- und welchen Wertebereich die Funktion hat. Auf der Glühbirne erhalten Sie weitere Informationen dazu. Durch Klicken auf den Stift erhalten Sie die Lösung.

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Definitionsbereich: Welche Zahlen dürfen für $x$ eingesetzt werden?

Wertebereich: In welchem Bereich liegen die Funktionswerte $f(x)$ ?

✏️

Für $x$ dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Der Definitionsbereich ist damit: $D_f = \mathbb{R}$

Die Funktionswerte liegen zwischen 0 und 1, wobei die 0 nie ganz erreicht wird. Der Wertebereich ist folglich: $W_f = (0,1]$

Die senkrechte rote Linie verdeutlicht, dass dem Wert $x$ aus dem Definitionsbereich an dieser Stelle zwei Werte zugeordnet werden können. Dies widerspricht der Definition einer Funktion!

Bestimmung des Funktionswertes¶

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2+2x+3$ . Bestimmen Sie den Funktionswert an den Stellen $x=5$ und $x=t+3$ .

Zur Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle $x$ =5 können wir wie folgt vorgehen:

Wir setzen an jeder Stelle, an der $x$ in der Funktionsgleichung steht, die Zahl 5 ein. Damit erhalten wir:
$f(5)=5^2+2\cdot 5+3$
Nun können wir den Funktionswert weiter ausrechnen und erhalten:
$f(5)=25+10+3=38$

Versuchen Sie nun analog dazu, den Funktionswert an der Stelle $x=t+3$ zu bestimmen. Durch Klicken auf den Stift erhalten Sie die Lösung.

✏️

Zur Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle $x=t+3$ gehen wir analog vor:

Für $x$ setzen wir nun den Term $t+3$ ein. Hierbei empfiehlt es sich, zunächst überall Klammern zu setzen, um z.B. keine Vorzeichenfehler zu generieren. Wir erhalten:
$f(t+3)=(t+3)^2+2\cdot (t+3)+3$
Wir rechnen nun wieder Schritt für Schritt die rechte Seite aus, um den Funktionswert $f(t+3)$ zu erhalten. Dabei muss man vor allem auf eventuell auftretende Binomische Formeln und korrektes Ausmultiplizieren achten.
$f(t+3)=(t^2+6t+9)+2t+6+3=t^2+8t+18$