Quadratische Funktionen - book.mathe.studien.cloud

Das Schaubild einer quadratischen Funktion wird auch Parabel genannt.

Formen quadratischer Funktionen¶

Im Video “Formen quadratischer Funktionen” unter https://youtu.be/H8baR_rhkk4 werden die drei Formen nochmal erklärt und an einem Beispiel ineinander überführt.

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🧐 Quadratische Ergänzung

Zunächst erinnern wir uns an die ersten beiden binomischen Formeln: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
Wir haben diese beiden Formeln bisher hauptsächlich von links nach rechts angewendet. Jetzt schauen wir uns in den zwei folgenden Beispielen die Anwendung von rechts nach links an:

1. Beispiel: $\quad x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 6x + 9 = \color{red}{x^2} + \color{blue}{6x} ~+ \color{orange}{3^2} = (x+3)^2$
$\qquad \qquad \quad~~ \color{red}{a^2} + \color{blue}{2ab} + \color{orange}{b^2} = (a + b)^2$
In diesem Beispiel konnte die 1. Binomische Formel direkt angewendet werden. Aber wie können wir eine ähnliche Umformung durchführen, wenn dies nicht der Fall ist? Dazu ein zweites Beispiel.
2. Beispiel: $\quad x^2 + 6x + 11$
Da in diesem Fall der dritte Summand im Ausgangsterm (hier +11) nicht direkt dem $b^2$ wie im vorhergehenden Beispiel entspricht, wenden wir folgenden Trick an:
$x^2 + 6x + 11 = \color{red}{x^2} + \color{blue}{2\cdot 3 \cdot x} ~+ \color{orange}{3^2} - \color{orange}{3^2} + 11~= (x+3)^2 + 2$
$\qquad \qquad \qquad \color{red}{a^2} + ~~~\color{blue}{2ab}~~~~~ + \underbrace{\color{orange}{b^2} - \color{orange}{b^2}}_{=0} + 11 = (a+b)^2 \underbrace{- b^2 + 11}_{+2}$

Die im zweiten Beispiel durchgeführte Umformung wird quadratische Ergänzung genannt. Da $b^2$ ergänzt wird, um die Binomische Formel anwenden zu können, erklärt sich nun auch der Name “quadratische Ergänzung”.

Beispiel 1:

$f(x) = x^2 - 8x +11$ soll in die Scheitelpunktsform umgewandelt werden.

Wir wenden die Methode der quadratischen Ergänzung an:

$x^2 -8x +11 = \color{red}{x^2} - \color{blue}{2\cdot 4x} \ + \color{orange}{4^2} - \color{orange}{4^2} + 11$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{a^2} - ~~\color{blue}{2ab} ~~~+ \color{orange}{b^2} - \color{orange}{b^2} + 11$

$= \color{red}{x^2} - \color{blue}{8x} + \color{orange}{4^2} - \color{orange}{4^2} + 11$

$= (\color{red}{x} - \color{orange}{4})^2 - \color{orange}{4^2} + 11$

$= (x - 4)^2 - 5$

$\rightarrow$ der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)$ liegt bei $S(4|-5)$

Beispiel 2:

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4$ soll in die Scheitelpunktsform umgewandelt werden und dadurch der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt werden.

Im Vergleich zu Beispiel 1 steht bei der hier gegebenen Funktion der Faktor $\frac{1}{2}$ vor $x^2$ . Dadurch kann die Methode der quadratischen Ergänzung nicht direkt angewendet werden. Wir klammern in diesen Fällen zunächst den Faktor vor $x^2$ aus und erhalten:
$f(x) = \frac{1}{2}\left(x^2 - 6x + 8\right)$

In einem nächsten Schritt können wir nun für den Ausdruck in der Klammer die quadratische Ergänzung durchführen:
$f(x) = \frac{1}{2}\left(\color{red}{x^2} - \color{blue}{2\cdot 3x} + \color{orange}{3^2} - \color{orange}{3^2} + 8\right)$
$\qquad\qquad \color{red}{a^2} - ~~\color{blue}{2ab} ~+ \color{orange}{b^2} - \color{orange}{b^2} + 8$

$f(x) = \frac{1}{2}\left((x-3)^2 -9 + 8 \right)$

$f(x) = \frac{1}{2}\left((x-3)^2 -1 \right)$

Um auf die Scheitelpunktform zu kommen und den Scheitelpunkt direkt ablesen zu können, müssen wir als letzten Schritt noch den Faktor $\frac{1}{2}$ mit der äußeren Klammer multiplizieren:
$f(x) = \frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{1}{2}$

Damit liegt der Scheitelpunkt dieser Parabel bei $S(3|-\frac{1}{2})$ .