Quadratische Gleichungen

Lösen von quadratischen Gleichungen¶

Beispiel für die Verwendung der Mitternachtsformel:

$x^2 + 10x + 9 = 0$

$x_{1/2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2}$

$= \frac{-10 \pm 8}{2}$

$x_{1} = -9$

$x_{2} = -1$

Beispiel:

$5x^2 -125 = 0$
$5x^2 = 125$
$x^2 = \frac{125}{5} = 25$

$x_1 = +\sqrt{25} =5$
$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Zerlegung in Linearfaktoren¶

Beispiel:

Folgendes Polynom soll in Linearfaktoren zerlegt werden:

$3x^2 +3x - 6 = 0$

Hierzu werden zunächst die Nullstellen bestimmt:

$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{6} = \frac{-3 + 9}{6} = 1$

$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{6} = \frac{-3 - 9}{6} = -2$

Dadurch ergibt sich:

$3x^2 +3x - 6 = 3 \cdot (x-1)(x+2)$

Der Faktor 3 vor dem $x^2$ muss extra berücksichtig werden.

Als Probe kann ausmultipliziert werden:

$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x -2$

das heißt:   $3 \cdot (x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 3x - 6$