Gleichungen lösen durch Substitution

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
und
$3 + 2e^{-2x} - 5e^{-x} = 0$

sind Gleichungen, für die, im Gegensatz zu quadratischen Gleichungen mit der Mitternachtsformel oder der $p - q$-Formel, keine Lösungsformel existiert. Solche biquadratischen Gleichungen bzw. Exponentialgleichungen können durch Substitution gelöst werden.

Beispiel 1:

Vorgehensweise zur Lösung der oben genannten biquadratischen Gleichung:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Substitution: $x^2 = z$
$z^2 - 13z + 36 = 0$

Anwendung der Mitternachtsformel (oder der $p-q$-Formel):
$z_{1/2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}$
$z_1 = \frac{13+5}{2} = 9$
$z_1 = \frac{13-5}{2} = 4$

Resubstitution:
$x^2 = z_1 = 9$
$x_{1/2} = \pm \sqrt{9} = \pm 3$

$x^2 = z_2 = 4$
$x_{3/4} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

Damit sind die vier Lösungen $\mathbb{L} = \{-3, -2, 2, 3 \}$

Beispiel 2:

Vorgehensweise zur Lösung der oben genannten Exponentialgleichung:

$3 + 2e^{-2x} - 5e^{-x} = 0$

Substitution: $e^{-x} = z$
$3 + 2z^2 - 5z = 0$ bzw.
$2z^2 - 5z + 3 = 0$

Anwendung der Mitternachtsformel (oder der $p-q$-Formel: Achtung: Faktor 2 vor $z^2$!)
$z_{1/2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$z_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$z_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Resubstitution:
$e^{-x_1} = z_1 = \frac{3}{2}$
$\ln{(e^{-x_1})} = \ln{(\frac{3}{2})}$
$-x_1 \cdot \ln{(e)} = \ln{(\frac{3}{2})}$
$-x_1 = \ln{(3)} - \ln{(2)}$
$x_1 = -\ln{(3)} + \ln{(2)}$

$e^{-x_2} = z_2 = 1$
$\ln{(e^{-x_2})} = \ln{(1)}$
$-x_2 = 0$
$x_2 = 0$

Damit sind die zwei Lösungen $\mathbb{L} = \{-\ln{(3)} + \ln{(2)}, 0 \}$

Für kleine Hinweise zur Lösung der Exponentialgleichung klicken Sie auf das Smiley:

Weitere Grundlagen zu Exponentialgleichungen finden Sie im Kapitel Exponentialgleichungen und zum Thema Logarithmen im Kapitel Logarithmengesetze.

Weitere Beispiele zum Üben:

Beispiel 3:

$x^4 + 2x^2 + 3 = 0$

Rechnen Sie selbst und vergleichen Sie Ihre Lösung mit der unter der Glühbirne.

💡

$x^2 = z$
$z^2 + 2z + 3 = 0$
$z_{1/2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}$
$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2}$

Da der Radikat $(4-12)$ der Wurzel kleiner null ist, ergibt sich die leere Menge als Lösungsmenge:
$\mathbb{L} = \{\}$

Beispiel 4:

$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

Rechnen Sie selbst und vergleichen Sie Ihre Lösung mit der unter der Glühbirne.

💡

$x^2 = z$
$z^2 - 4z + 3 = 0$
$z_{1/2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}$
$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$
$= \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$

$z_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$
$z_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Resubstitution:
$x^2 = z_1 = 3$ → $x_{1/2} = \pm \sqrt{3}$

$x^2 = z_2 = 1$ → $x_3 = 1$

Damit ergibt sich die Lösungsmenge:
$\mathbb{L} = \{-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}\}$