Definition von Wurzeln

Zusammenhang zwischen Potenz- und Wurzelrechnung an einem Anwendungsbeispiel¶

Mit Hilfe der Potenzrechnung aus dem vorherigen Notebook, wissen Sie, wie Sie die Anzahl der Bakterien nach drei Stunden elegant bestimmen können.

Das Ergebnis erhalten Sie mit einem Klick auf die Glühbirne.

In einer anderen Kultur waren zu Beginn ebenfalls 50 Bakterien vorhanden. Nach fünf Stunden werden dort 388800 Bakterien gezählt. Um welchen Faktor vermehren sich die Bakterien in dieser Kultur pro Stunde?

Um auf diesen Wert zu kommen, stellen Sie folgende Gleichung auf:

$50 \cdot x^5 = 388800$

Im ersten Teil der Aufgabe haben Sie Potenzrechnung verwendet: Im Idealfall haben Sie bei der Berechnung für die Basis vier und für den Exponenten drei eingesetzt.

Nun wollen Sie die Basis bestimmen. Dafür benötigen Sie den richtigen Umgang mit Wurzeln.

$x = \sqrt[5]{\frac{388800}{50}} = 6$

Definitionen¶

Beispiel 1:

$4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = (\sqrt{4})^2$

Beispiel 2:

$4^{\frac{1}{n}} \cdot 4^{\frac{1}{n}} \cdot 4^{\frac{1}{n}} \cdot$ ... $\cdot 4^{\frac{1}{n}} = (4^\frac{1}{n})^{n} = 4^{n \cdot \frac{1}{n}} = 4 = (\sqrt[n]{4})^{n}$

Alle Definitionen werden im Video “Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln” unter https://youtu.be/UQYAwpjTPXo nochmals erklärt.