Definition von Logarithmen

Zusammenhang zwischen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen an einem Anwendungsbeispiel¶

Wir erinnern uns an das einführende Beispiel der Bakterien in einer Nährlösung aus dem Kapitel zu “Rechnen mit Wurzeln”.

Im ersten Schritt wurde mit Potenzrechnung die Anzahl der Bakterien nach drei Stunden, wenn sich diese pro Stunde vervierfacht, berechnet. Zu Beginn waren 50 Bakterien in der Lösung gezählt worden:

Im zweiten Schritt ging es darum, den Faktor zu bestimmen, um den sich eine Kultur pro Stunde vermehrt, wenn sich zu Beginn 50 Bakterien und nach fünf Stunden 388800 Bakterien in der Nährlösung befinden. Hierfür war das Rechnen mit Wurzeln notwendig.

$N = 50 \cdot x^5 = 388800$       Die Basis ist die Unbekannte – Anwendung von Wurzeln

In einer dritten Lösung befinden sich zu Beginn ebenfalls 50 Bakterien. Es ist bekannt, dass die Bakterien sich pro Stunde um einen Faktor sieben vermehren. Nach einer gewissen Zeit sind 2450 Bakterien in der Lösung. Wie viel Zeit ist vergangen?

$N = 50 \cdot 7^x = 2450$       Die Unbekannte steht im Exponenten – Anwendung von Logarithmen

Lösung: $x = 2$

Definitionen¶

Logarithmen wichtiger Basen¶

Im Video “Erklärungen zu Logarithmen” können Sie sich diese Inhalte nochmals ansehen und bekommen die Zusammenhänge dargestellt. Sie finden das Video unter: https://youtu.be/8FlIAptuQR4

Anwendung und Bedeutung¶

Beispiel 1:

$\log_{4}{(16)} = 2 \quad \quad$→ $\quad 4^2 = 16$ $\quad \quad$"4 hoch was ergibt 16?" $\quad \rightarrow 2$

Beispiel 2:

$\log_{8}{(\frac{1}{2})} = -\frac{1}{3} \quad$ → $\quad 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \quad \quad$“8 hoch was ergibt $\frac{1}{2}$?” $\quad \rightarrow -\frac{1}{3}$

Beispiel 3:

$\log_{k}{(k^2)} = 2 \quad \quad$ → $\quad k^2 = k^2$ $\quad \quad$ “k hoch was ergibt $k^2$?” $\quad \rightarrow 2$

Zur Anwendung und Bedeutung finden Sie außerdem ein Video unter https://youtu.be/Maa0YgHfmHk .