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Integralrechnung¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x =$ exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
Eine neue Zelle generieren Sie übrigens, indem Sie oben in der Symbolleiste auf das Plus-Zeichen klicken.

Unbestimmte Integrale¶

Ein unbestimmtes Integral einer Funktion $f(x)$ wird dargestellt mit:
$\int f(x) dx$

Unbestimmte Integrale besitzen keine Integrationsgrenzen und bezeichnen die Menge aller Stammfunktionen der Funktion $f(x)$ .

Wenn $F(x)$ irgendeine Stammfunktion von $f(x)$ ist, so gilt

$\int f(x) dx = F(x) + \color{red}{C}$ , $C \in \mathbb{R}$ beliebig

Stammfunktionen zu einer Funktion $f$ unterscheiden sich nur durch eine Konstante $C$ .

Beispiele:

1.) $\int 2x$ $dx = x^2 + C$

2.) $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $dx = \int \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt {x} +C$

3.) $\int e^x$ $dx = e^x + C$

4.) $\int e^{-x}$ $dx = -e^{-x} + C$

5.) $\int \cos(x)$ $dx = \sin(x) + C$

6.) $\int \sin (x)$ $dx = - \cos(x) + C$

Grundintegrale¶

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$$ f(x) = 1 $$	$$ F(x) = x + C $$
$$f(x) = x^r; (r ≠ -1)$$	$$F(x) = \frac{1}{r+1} x^{r+1} + C; (r ≠ -1) $$
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$	$$ F(x) = \ln \vert{x} \vert +C$$
$$ f(x) = e^x $$	$$ F(x) = e^x +C $$
$$ f(x) = e^{ax} $$	$$ F(x) = \frac{1}{a} e^{ax} + C $$
$$ f(x) = \sin(x) $$	$$ F(x) = -\cos(x) +C $$
$$ f(x) = \cos(x) $$	$$ F(x) = \sin(x) +C $$
$$ f(x) = \cos(ax) $$	$$ F(x) = \frac{1}{a}\sin(ax) +C $$
$$ f(x) = \sin(ax) $$	$$ F(x) = -\frac{1}{a}\cos(ax) +C $$

$\int f(x) dx = F(x) + C$

und

$F'(x) = f(x)$
Die Konstante $C$ fällt beim Ableiten weg.

Vergleichen Sie die Tabelle mit der Tabelle zu den grundlegenden Ableitungen im Thema Differentialrechnung im Notebook 02_Grundlegende_Ableitungsregeln.ipynb

Beispiele:

1.) $\int x^4$ $dx = \frac{1}{4+1} x^{4+1} + C = \frac{1}{5} x^5 +C$

2.) $\int \cos(2x)$ $dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C$

3.) $\int \sin(-4x)$ $dx = -\frac{1}{(-4)}\cos(-4x) + C = \frac{1}{4}\cos(-4x) +C$

4.) $\int e^{-5t}$ $dt = \frac{1}{(-5)} e^{-5t} + C = -\frac{1}{5} e^{-5t} + C$

Aufgaben¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen, die in Leveln jeweils in der Klammer angegeben sind. Führen Sie die folgende Zelle aus, indem Sie in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe, indem Sie sich Notizen mit Stift und Papier machen und anschließend Ihr Ergebnis eintippen.

Teil A¶

#Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=1)

#Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=2)

#Generiere Aufgabe mit Level 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=3)

#Generiere Aufgabe mit Level 4 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=4)

#Generiere Aufgabe mit Level 5 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=5)

#Generiere Aufgabe mit Level 6 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=6)

#Generiere Aufgabe mit Level 7 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=7)

#Generiere Aufgabe mit Level 8 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=8)

Teil B¶

#Generiere Aufgabe mit Level 9 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=9)

#Generiere Aufgabe mit Level 10 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=10)

#Generiere Aufgabe mit Level 11 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=11)

#Generiere Aufgabe mit Level 12 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Integralrechnung.Unbestimmte_Integrale.Aufgabe(level=12)