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Differentialrechnung_2

Handwerkszeug für dieses Notebook:

Rechenoperationen:

Multiplikation:  *

Division und Brüche:  /

Eingabe von Potenzen:  **

Eingabe eines Kommas als Punkt:  .

Eine Zelle ausführen:  Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: \sqrt{x} = sqrt(x) und n-te Wurzeln: \sqrt[n]{x} = x**(1/n)

e -Funktion: e^x = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Definition einer Variable x: x=symbols('x')

Funktionen:

Zeichnen der Funktion f(x) = x^2: plot(x**2)

Zeichnen der Funktion f(x)=x^2 im Intervall [-2,10]: plot(x**2,(x,-2,10))

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
Eine neue Zelle generieren Sie übrigens, indem Sie oben in der Symbolleiste auf das Plus-Zeichen klicken.

Spickzettel()

Ableitungsregeln

Potenzregel

$ f(x) = x^r \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{df}{dx} = r \cdot x^{r-1} $ für $ r \in \mathbb{R} $

Man beachte: r kann eine beliebige reelle Zahl sein!

Kehrwerte und Wurzeln müssen vor dem Ableiten in Potenzschreibweise geschrieben werden!

Beispiele:

Beispiel 1: f(x)=x4   →   f′(x)=4x3 f(x) = x^4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 4x^3

Beispiel 2: f(x)=x20   →   f′(x)=20x19 f(x) = x^{20} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 20x^{19}

Beispiel 3: f(x)=1x=x−1   f′(x)=−1⋅x−2=−1x2 f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \ \ \ f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Beispiel 4: f(x)=x3=x32   →   f′(x)=32⋅x32−1=32⋅x12=32⋅x f(x) = \sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} -1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

Ableitungen wichtiger Grundfunktionen

Folgende Ableitungen sollten Sie immer parat haben bzw. auswendig wissen:

FunktionAbleitung
$$ f(x) = c $$$$ f'(x) = 0 $$
$$f(x) = x^r $$$$f'(x) = r \cdot x^{r-1} $$
$$ f(x) = \sin(x) $$$$ f'(x) = \cos(x) $$
$$ f(x) = \cos(x) $$$$ f'(x) = -\sin(x) $$
$$ f(x) = e^x $$$$ f'(x) = e^x $$
$$ f(x) = \ln(x) $$$$ f'(x) = \frac{1}{x} $$
$$ f(x) = a^x $$$$ f'(x) = (\ln{a}) \cdot a^x $$

Faktorregel

$ f(x) = c \cdot g(x) \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{df}{dx} = c \cdot g'(x) $ für $ c \in \mathbb{R} $

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren unverändert.

Beispiele:

Beispiel 1: f(x)=5⋅x3   →   f′(x)=5⋅3x2=15x2 f(x) = 5 \cdot x^3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2

Beispiel 2: g(t)=a⋅t2n−5   →   g′(x)=dgdt=a⋅(2n−5)t2n−5−1=a⋅(2n−5)t2n−6 g(t) = a \cdot t^{2n-5} \ \ \ \rightarrow \ \ \ g'(x) = \frac{dg}{dt} = a \cdot (2n-5) t^{2n-5-1} = a \cdot (2n-5) t^{2n-6}

Beispiel 3: p(x)=2⋅ln⁡x   →   p′(x)=dpdx=2⋅1x=2x p(x) = 2 \cdot \ln{x} \ \ \ \rightarrow \ \ \ p'(x) = \frac{dp}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}

Aufgaben

Generieren Sie sich zur Übung nun Aufgaben, indem Sie in die folgende Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken.

Teil A
#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Potenzregel.Aufgabe(level=1)

Summenregel

f(x) = g(x) \pm h(x) \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = g'(x) \pm h'(x)

Eine Summe oder Differenz wird gliedweise differenziert. Das gilt auch für mehr als zwei Summanden.

Beispiele:

Beispiel 1. f(x)=2x−3   →   f′(x)=2−0=2 f(x) = 2x -3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) =2 - 0 = 2

Beispiel 2 : u(x)=mx+b   →   u′(x)=m u(x) = mx + b \ \ \ \rightarrow \ \ \ u'(x) = m

Beispiel 3: e(x)=−2x2+5x+3   →   e′(x)=−2⋅2x+5=−4x+5 e(x) = -2x^2 + 5x + 3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ e'(x) = -2 \cdot 2x + 5 = -4x + 5

Die Ableitung von Polynomen berechnet man mit der Summen- und Faktorregel:

f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0=a⋅g(x)+b⋅h(x)+... f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 = a \cdot g(x) + b \cdot h(x)+ ...

→f′(x)=an⋅n⋅xn−1+an−1⋅(n−1)⋅xn−2+...+a2⋅2⋅x+a1 \rightarrow f'(x) = a_n \cdot n \cdot x^{n-1} + a_{n-1} \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} + ... + a_2 \cdot 2 \cdot x + a_1

Ein Beispiel zur Potenz-, Faktor- und Summenregel gibt es im Video unter: https://youtu.be/Mye0FraACQ0

Aufgaben zu Faktor- und Summenregel

Generieren Sie sich zur Übung nun weitere Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsstufen, indem Sie in die folgenden Zellen klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken.

Teil A
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Potenzregel.Aufgabe(level=2)
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Potenzregel.Aufgabe(level=3)
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 4 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Potenzregel.Aufgabe(level=4)
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 5 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Potenzregel.Aufgabe(level=5)

Aufgaben zu wichtigen Grundfunktionen

Generieren Sie sich zur Übung nun weitere Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsstufen, indem Sie in die folgenden Zellen klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken.

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Ableitung_von_Grundfunktionen.Aufgabe(level=1)
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Ableitung_von_Grundfunktionen.Aufgabe(level=2)
#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Ableitung_von_Grundfunktionen.Aufgabe(level=3)
Differentialrechnung
Momentane Aenderungsrate
Differentialrechnung
Produkt Quotienten Kettenregel