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Differentialrechnung_5¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x =$ exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Definition einer Variable $x$ : x=symbols('x')

Funktionen:

Zeichnen der Funktion $f(x) = x^2$ : plot(x**2)

Zeichnen der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $[-2,10]$ : plot(x**2,(x,-2,10))

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
Eine neue Zelle generieren Sie übrigens, indem Sie oben in der Symbolleiste auf das Plus-Zeichen klicken.

Extremstellen¶

Bisher wissen wir:

für $f(x_1) < f(x_2)$ für $x_1 < x_2$ ist die Funktion $f$ monoton wachsend

für $f(x_1) > f(x_2)$ für $x_1 < x_2$ ist die Funktion $f$ monoton fallend.

Hierfür kann auch die 1. Ableitung $y' = f'(x)$ herangezogen werden. Sie stellt die Steigung der Kurventangente dar und beschreibt das Monotonie-Verhalten.

$f$ ist streng monoton wachsend, falls $f'(x) > 0$ (linke Abbildung)

$f$ ist streng monoton fallend, falls $f'(x) < 0$ (rechte Abbildung)

Ein Beispiel für eine monoton wachsende Funktion ist $f(x) = x^3$ . Hier ist $f'(x) = 3x^2 > 0$ für $x ≠ 0$ .

#Führen Sie die Zelle aus, um die Funktion f(x)=x^3 angezeigt zu bekommen
from sympy import*
plot (x**3)

Extremwerte (Minima, Maxima) werden auch als optimale Werte bzw. Optima bezeichnet. Die Bestimmung von Extremwerten findet vor allem bei der Optimierung von Problemstellungen eine Anwendung.

Geometrische Interpretation:

Ist $x_e$ ein lokaler Exptremwert, dann ist die Steigung der Tangente im Punkt $(x_e/f(x_e))$ gleich Null.

Die in grün dargestellten Tangenten an den Stellen $x_{e1}, x_{e2}$ und $x_{e3}$ veranschaulichen die Extremstellen des dargestellten Graphen.

Anwendung in der Physik:

Wo ist die Geschwindigkeit minimal?
Wo wird die Stromstärke maximal?

Bestimmung von Extremwerten

1. Notwendige Bedingung:

$f'(x_e) = 0$

2. Hinreichende Bedingung:

$f'(x_T) = 0$ und $f''(x_T) > 0$ : $f(x)$ besitzt an der Stelle $( x_T/f(x_T))$ ein lokales Minimum.

$f'(x_H) = 0$ und $f''(x_H) < 0$ : $f(x)$ besitzt an der Stelle $( x_H/f(x_H))$ ein lokales Maximum.

Ist an der Stelle $x_T$ bzw. $x_H$ $f''(x_T) = 0$ bzw. $f''(x_H) = 0$ , so muss beachtet werden, ob $f'(x)$ dort einen Vorzeichenwechsel und der Graph von $f$ damit eine Krümmung besitzt.

Beispiel 1:

$f(x) = x^2$ besitzt an der Stelle $x_T = 0$ eine waagrechte Tangente und weist eine Linkskrümmung auf.

Die Ableitungen lauten folgendermaßen:

$f'(x) = 2x$

$f''(x) = 2$

$f'(x_T) = 0$ und $f''(x_T) > 0$

$f(x)$ hat damit bei $(x_T/f(x_T)$ einen Tiefpunkt.

#Drücken Sie Shift und Enter gleichzeitig, um die Funktion f(x)=x**2 angezeigt zu bekommen
from sympy import*
plot(x**2)

Beispiel 2:

$f(x) = -x^2$ besitzt an der Stelle $x_H = 0$ eine waagrechte Tangente und weist eine Rechtskrümmung auf.

Die Ableitungen lauten folgendermaßen:

$f'(x) = -2x$

$f''(x) = -2$

$f'(x_H) = 0$ und $f''(x_H) < 0$

$f(x)$ hat damit im Punkt $(x_H/ f(x_H)$ einen Hochpunkt.

#Drücken Sie Shift und Enter gleichzeitig, um die Funktion f(x)=-x**2 angezeigt zu bekommen
plot(-x**2)

Zusammenfassung zur Vorgehensweise für die Bestimmung von Extremwerten:

Berechnung der ersten beiden Ableitungen von $f(x)$
Berechnung der Nullstellen $x_e$ von $f'(x)$
Prüfung des Vorzeichens von $f''(x_e)$ für alle $x_e$ . Falls $f''(x_e) = 0$ , muss überprüft werden, ob $f(x)$ an der Stelle $x_e$ einen Vorzeichenwechsel aufweist.

Beispiel: $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 -x^2$

#Führen Sie die Zelle aus, um die Funktion zu plotten
from sympy import*
plot((x**4)/4 + (x**3)/3 - x**2)

Schritt: Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion.

#Führen Sie diese Zelle aus, um f'(x) angezeigt zu bekommen
f_1 = x**3 + x**2 -2*x
f_1

#Führen Sie diese Zelle aus, um f''(x) angezeigt zu bekommen
f_2 = 3*x**2 + 2*x -2
f_2

Schritt: Berechnen Sie die Nullstellen von $f'(x)$ .

#Führen Sie die Zelle aus, um die Nullstellen von f'(x) zu erhalten
gl1 = solve(x**3 + x**2 -2*x,x)
gl1

Schritt: Setzen Sie Ihre Werte der Nullstellen von $f'(x)$ in $f''(x)$ ein.

Man erhält:

$f''(0) = -2 < 0$ : ergibt ein lokales Maximum im Punkt $(0/f(0)) = (0/0)$

$f''(1) = 3 > 0$ : ergibt ein lokales Minimum im Punkt $(1/f(1)) = (1/ - \frac{5}{12})$

$f''(-2) = 6 > 0$ : ergibt ein lokales Minimum im Punkt $(-2/f(-)) = (-2/ - \frac{8}{3})$

Aufgaben¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen. Die Schwierigkeitsstufe ist dabei als Level jeweils in der Klammer angegeben. Führen Sie die folgenden Zellen aus, indem Sie jeweils in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe und tippen Sie Ihr Ergebnis zur Überprüfung ein.

Teil A¶

# Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Extrema.Aufgabe(level=1)

Teil B¶

# Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Extrema.Aufgabe(level=2)