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Differentialrechnung_4¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x =$ exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Definition einer Variable $x$ : x=symbols('x')

Funktionen:

Zeichnen der Funktion $f(x) = x^2$ : plot(x**2)

Zeichnen der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $[-2,10]$ : plot(x**2,(x,-2,10))

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
Eine neue Zelle generieren Sie übrigens, indem Sie oben in der Symbolleiste auf das Plus-Zeichen klicken.

Höhere Ableitungen¶

Leitet man die erste Ableitung ein weiteres Mal ab, erhält man die zweite Ableitung.

$f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \$ 2. Ableitung der Funktion $f$ nach $x$

Man spricht: “d zwei f nach dx-Quadrat”

Beispiel:

Funktion: $f(x) = 3x^6 + 2x^2 +5$

Ableitung: $f'(x) = 18x^5 + 4x$
Ableitung: $f''(x) = 90x^4 + 4$

Oft lassen sich auch höhere Ableitungen als die zweite einer Funktion bestimmen. Diese höheren Ableitungen sind nur dann möglich, wenn die Funktion stetig differenzierbar ist.

Differenzierbar heißt, die Funktion kann in ihrem Definitionsbereich an allen Stellen durch eine lineare Funktion angenähert werden. Nicht differenzierbar ist beispielsweise eine Funktion, die einen “Knick” in ihrem Schaubild besitzt.

Stetig differenzierbar bedeutet, dass die Ableitungsfunktion eine stetige Funktion ist. Der Graph der Ableitungsfunktion weist keine “Unterbrechung” auf.

#Führen Sie die Zelle aus, indem Sie gleichzeitig Shift und Enter drücken, um die Funktion angezeigt zu bekommen
from sympy import*
plot(abs(x))

Die Betragsfunktion $f(x) = \left| x \right|$ ist ein Beispiel für eine Funktion, die an der Stelle $x = 0$ nicht differenzierbar ist.

Höhere Ableitungen: $f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n} = \frac{d}{dx} (\frac{d^{n-1}f}{dx^{n-1}}) = (f^{(n-1)} (x))'$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n$ -te Ableitung von $f$

Aufgaben¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen. Die Schwierigkeitsstufe ist dabei als Level jeweils in der Klammer angegeben. Führen Sie die folgenden Zellen aus, indem Sie jeweils in die Zelle klicken und gleichzeitig Shift und Enter drücken. Bearbeiten Sie dann die Aufgabe und tippen Sie Ihr Ergebnis zur Überprüfung ein.

Teil A¶

# Generiere Aufgabe mit Level 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Hoehere_Ableitungen.Aufgabe(level=1)

# Generiere Aufgabe mit Level 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Hoehere_Ableitungen.Aufgabe(level=2)

# Generiere Aufgabe mit Level 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Hoehere_Ableitungen.Aufgabe(level=3)

Teil B¶

# Generiere Aufgabe mit Level 4 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Hoehere_Ableitungen.Aufgabe(level=4)

# Generiere Aufgabe mit Level 5 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Hoehere_Ableitungen.Aufgabe(level=5)

Differentialrechnung

Produkt Quotienten Kettenregel

Differentialrechnung

Extrema