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Differentialrechnung_3¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x =$ exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Definition einer Variable $x$ : x=symbols('x')

Funktionen:

Zeichnen der Funktion $f(x) = x^2$ : plot(x**2)

Zeichnen der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $[-2,10]$ : plot(x**2,(x,-2,10))

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Wenn Sie Fragen zur Eingabe haben, können Sie einfach eine Zelle generieren, dort Spickzettel() eintragen und die Zelle durch gleichzeitiges Drücken der Shift und der Enter-Taste ausführen. Daraufhin erscheint noch einmal eine Liste mit Hinweisen, wie was eingegeben werden muss. Probieren Sie das gerne gleich einmal aus, indem Sie die nächste Zelle auführen.
Eine neue Zelle generieren Sie übrigens, indem Sie oben in der Symbolleiste auf das Plus-Zeichen klicken.

Spickzettel()

Produktregel¶

Für das Produkt zweier Funktionen gilt:

$ f(x) = u(x) \cdot v(x) \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $

Oft wird auch die folgende Schreibweise verwendet:

$f'(uv) = u'v + uv'$

Hier im Video wird die Produktregel mit einem Beispiel nochmal erklärt! https://youtu.be/4Ewk2tKDKkQ

Beispiele:

Beispiel 1: $f(x) = \color{blue}{(x^2-x+1)} \cdot \color{green}{\ln{x}} = \color{blue}{u(x)} \cdot \color{green}{v(x)}$

$\rightarrow \ \ \ \color{orange}{u'(x) = 2x-1}$

$\rightarrow \ \ \ \color{red}{v'(x) = \frac{1}{x}}$

$\rightarrow \ \ \ f'(x) = (2x-1) \cdot \ln{x} + (x^2-x+1) \cdot \frac{1}{x}$

Beispiel 2: $e(x) = \color{darkblue}{7x} \cdot \color{orange}{\cos{x}} = \color{darkblue}{u(x)} \cdot \color{orange}{v(x)}$

$\rightarrow \ \ \ \color{red}{u'(x) = 7}$

$\rightarrow \ \ \ \color{green}{v'(x) = -\sin{x}}$

$\rightarrow \ \ \ e'(x) = 7 \cdot \cos{x} + 7x \cdot (-\sin{x}) = 7 \cdot (\cos{x} - x\cdot \sin{x})$

Aufgaben:¶

Sie können sich hier nun verschiedene Aufgaben zum Üben generieren. Dabei unterscheiden sich die Aufgaben in ihrer Schwierigkeit abhängig von dem in den Klammern angegebenen Level. Führen Sie die folgenden Zellen mittels gleichzeitigem Drücken von Shift und Enter aus, um Aufgaben zu erhalten.
Bearbeiten Sie anschließend die Aufgabe und machen sich Notizen auf Papier.

Die korrekte Eingabe für folgende Funktionen lautet:
Eingabe der e-Funktion: $e^x \rightarrow$ exp(x)
Eingabe des natürlichen Logarithmus: $\ln(x) \rightarrow$ log(x) bzw. ln(x)
Eingabe der Sinus-Funktion: $\sin(x) \rightarrow$ sin(x)
Eingabe der Kosinus-Funktion: $\cos(x) \rightarrow$ cos(x)

Teil A¶

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Produktregel.Aufgabe(level=1)

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 2 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Produktregel.Aufgabe(level=2)

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 3 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Produktregel.Aufgabe(level=3)

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 4 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Produktregel.Aufgabe(level=4)

Teil B¶

#Generiere Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 5 durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Produktregel.Aufgabe(level=5)

Quotientenregel¶

$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} $

In abgekürzter Form wird die Quotientenregel oft auch folgendermaßen geschrieben:

$f'(\frac{u}{v}) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Auch zur Quotientenregel gibt es ein Video auf dem YouTube-Kanal studien.cloud: https://youtu.be/rCVfiwrRIPU

Beispiel:

$f(x) = \frac{2x+1}{x^2-3} = \frac{u(x)}{v(x)}$

$\rightarrow u(x) = 2x+1$

$\rightarrow v(x) = x^2-3$

$\rightarrow u'(x) = 2$

$\rightarrow v'(x) = 2x$

$\rightarrow f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2-3) - (2x+1) \cdot 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^2-6 - 4x^2 -2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-2x^2 -2x -6}{(x^2-3)^2} = - \frac{2x^2+2x+6}{(x^2-3)^2}$

Anwendung zur Berechnung der Ableitungsfunktion von $f(x) = \tan{(x)}$

$f(x) = \tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}$

$\rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{\cos{(x)} \cdot \cos{(x)} - \sin{(x)} \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2} = \frac{(\cos{(x)})^2 + (\sin{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2}$

da gilt: $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1$

$\rightarrow f'(x) = \frac{1}{(\cos{(x)})^2}$

oder:

$\rightarrow f'(x) = \frac{(\cos{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2} + \frac{(\sin{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2} = 1 + (\tan{(x)})^2$

Aufgaben:¶

Sie können sich hier nun verschiedene Aufgaben zum Üben generieren. Dabei unterscheiden sich die Aufgaben in ihrer Schwierigkeit abhängig von dem in den Klammern angegebenen Level. Führen Sie die folgenden Zellen mittels gleichzeitigem Drücken von Shift und Enter aus, um Aufgaben zu erhalten.
Bearbeiten Sie anschließend die Aufgabe und machen sich Notizen auf Papier.

Die korrekte Eingabe für folgende Funktionen lautet:
Eingabe der e-Funktion: $e^x \rightarrow$ exp(x)
Eingabe des natürlichen Logarithmus: $\ln(x) \rightarrow$ log(x) bzw. ln(x)
Eingabe der Sinus-Funktion: $\sin(x) \rightarrow$ sin(x)
Eingabe der Kosinus-Funktion: $\cos(x) \rightarrow$ cos(x)

Teil A¶

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=1)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=2)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=3)

Teil B¶

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=4)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=5)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Quotientenregel.Aufgabe(level=6)

Anwendung von Faktor-, Summen- und Produktregel¶

Häufig müssen Ableitungen gemischt angewendet werden.

Beispiel: $f(x) = -4x^3 -2x^2 \cdot \ln{(x)} + 0,4x \cdot \sin{(x)} + 33 = \color{orange}{-4x^3} \color{blue}{-2x^2 \cdot \ln{(x)}} \color{green}{+0,4x \cdot \sin{(x)}} \color{darkred}{+33} = \color{orange}{g_1(x)} + \color{blue}{g_2(x)} + \color{green}{g_3(x)} + \color{darkred}{g_4(x)}$

Vorgehensweise:

Man verwendet die Summenregel und leitet die einzelnen Summanden ab.
Man beachte die Produkte innerhalb der einzelnen Summanden. Hierfür muss zur Ableitung die Produktregel angewandt werden.

$f'(x) = \color{orange}{-12x^2} \color{darkblue}{-4x \cdot \ln{(x)} - 2x^2 \cdot \frac{1}{x}} \color{green}{+0,4 \cdot \sin{(x)} + 0,4x \cdot (-\cos{(x)})}$

$= -12x^2 -2x \cdot (2 \ln{(x)} + 1) + 0,4 \cdot (\sin{(x)} - x \cdot\cos{(x)})$

Kettenregel¶

$f(x) = u(v(x)) \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{du(v)}{dv} \cdot \frac{dv(x)}{dx}$

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion.

Im Video https://youtu.be/dJNxQKbbdkE wird ein Beispiel zur Kettenregel gerechnet.

Beispiele:

$f(x) = \sqrt{x^2-3x}$

$\rightarrow \ \ \ v(x) = x^2-3x \ \ \ \rightarrow \ \ \ v'(x) = 2x-3$

$\rightarrow \ \ \ u(x) = \sqrt{v}= v^{\frac{1}{2}} \ \ \ \rightarrow \ \ \ u'(x) = \frac{1}{2} \cdot v^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{v}}$

$\rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2-3x}} \cdot (2x-3) = \frac{2x-3}{2 \cdot \sqrt{x^2-3x}}$

Aufgaben:¶

Sie können sich hier nun verschiedene Aufgaben zum Üben generieren. Dabei unterscheiden sich die Aufgaben in ihrer Schwierigkeit abhängig von dem in den Klammern angegebenen Level. Führen Sie die folgenden Zellen mittels gleichzeitigem Drücken von Shift und Enter aus, um Aufgaben zu erhalten.
Bearbeiten Sie anschließend die Aufgabe und machen sich Notizen auf Papier.

Die korrekte Eingabe für folgende Funktionen lautet:
Eingabe der e-Funktion: $e^x \rightarrow$ exp(x)
Eingabe des natürlichen Logarithmus: $\ln(x) \rightarrow$ log(x) bzw. ln(x)
Eingabe der Sinus-Funktion: $\sin(x) \rightarrow$ sin(x)
Eingabe der Kosinus-Funktion: $\cos(x) \rightarrow$ cos(x)

Teil A¶

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=1)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=2)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=3)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=4)

Teil B¶

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=5)

#Generiere Aufgabe durch gleichzeitiges Drücken von Shift und Enter
Differentialrechnung.Kettenregel.Aufgabe(level=6)