Definitionen

Es wird zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen untschieden.

Bestimmtes Integral: Ordnet durch Integrationsgrenzen einer Funktion $f(x)$ eine Zahl zu, die im zweidimensionalen Koordinatensystem dem Flächeninhalt zwischen Graph, $x$-Achse und den Integrationsgrenzen entspricht.

Unbestimmtes Integral: Entspricht einer Menge von Stammfunktionen; die Ableitung dieser Stammfunktionen entspricht der ursprünglichen Funktion $f(x)$.

Schauen wir uns zuerst ein paar Begriffe an:

In der Grafik sind auch obere und untere Integrationsgrenze aufgezeigt. Diese sind nur bei bestimmten Integralen relevant.

Was steckt hinter der Berechnung eines Integrals?¶

Annäherung:

Die Fläche, die ein Graph einer Funktion $f$ mit der $x$-Achse einschließt, soll bestimmt werden. Es geht also um die “Fläche unter der Kurve”. Dabei ist es schwierig, die Fläche einfach über eine Formel für ein zweidimensionales n-Eck zu bestimmen, da es sich nicht um ein n-Eck handelt. Deswegen geht man so vor, dass die zu bestimmende Fläche in kleine Flächeninhalte, also kleine Rechtecke, unterteilt wird. In der folgenden Grafik ist aufgezeigt, wie eine solche Aufteilung aussehen kann: Links sind die Rechtecke kleiner als die eigentliche Fläche, rechts sind sie größer. Man spricht bei der kleineren Fläche von der Untersumme, bei der größeren von der Obersumme.

Die Untersumme ist kleiner als die gesuchte Fläche, die Obersumme dagegen größer, weswegen der Flächeninhalt so nur ungenau dargestellt werden kann.

Die Idee ist jetzt, dass das Intervall auf der $x$-Achse verfeinert wird. Die Breite der Rechtecke wird also kleiner. Damit wird der Flächeninhalt eines jeden Rechtecks kleiner, die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen größer und die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke nähert sich immer mehr dem tatsächlich gesuchten Flächeninhalt an.

Nun lässt man die Anzahl $N$ der kleinen Flächeninhalte unendlich groß werden und bildet den Grenzwert der Summe. Das ergibt das bestimmte Integral.

Hierfür werden der Grenzwert $lim$ und das Summenzeichen $\sum$ verwendet. Falls Sie mehr dazu erfahren möchten, klicken Sie auf den Smiley.

$\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^N m_j(x_j-x_{j-1}) = \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^N M_j(x_j-x_{j-1})$

Wir schauen uns an, was in den einzelnen Termen steht:

$\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^N m_j(x_j-x_{j-1})$:
Hier wird die Anzahl der Flächeninhalte, die unterhalb des Graphen ansetzen, also die Untersumme, unendlich groß.
$m_j$: Höhe der Rechtecke
$(x_j - x_{j-1})$: Breite der Rechtecke; diese ist definiert als die Differenz zweier aufeinander folgender $x$-Werte

$\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^N M_j(x_j-x_{j-1})$:
Hier wird die Anzahl der Flächeninhalte, die oberhalb des Graphen ansetzen, also die Obersumme, unendlich groß.
$M_j$: Höhe der Rechtecke
$(x_j - x_{j-1})$: Breite der Rechtecke; diese ist definiert als die Differenz zweier aufeinander folgender $x$-Werte.

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$:
bestimmtes Integral der Funktion $f(x)$ mit den Integrationsgrenzen $a$ und $b$

Die Begriffe “Ober- und Untersumme” und wie man diese berechnet werden im Video “Ober- und Untersumme” unter https://youtu.be/i6yhl8ZGtrE des studiVEMINT-Projekts der Universität Paderborn nochmal genauer erläutert.

Wenn jeder Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse innerhalb zweier Grenzen mittels Ober- und Untersumme bestimmt werden müsste, wäre das sehr mühsam.

Deswegen wird der Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung verwendet.

Beispiele:

$F(x)= x^2 \qquad F'(x) = 2x \qquad$ Das heißt $F$ ist Stammfunktion von $f(x)=2x$.

$F(x) = x^{\frac{1}{2}} \qquad F'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \quad$ Das heißt $F$ ist Stammfunktion von $f(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt x}$

$F(x)= e^x \qquad F'(x) = e^x \quad$ Das heißt $F$ ist Stammfunktion von $f(x)=e^x$.

$F(x)= \sin(2x) \quad F'(x) = 2\cos(2x) \quad$ Das heißt $F$ ist Stammfunktion von $f(x)=2\cos(2x)$.

Wird die Stammfunktion $F$ abgeleitet, erhält man die Funktion $f$. Ableitungen wurden im Kapitel Differentialrechnung bearbeitet. Die wichtigsten Ableitungsregeln gibt es im Abschnitt Grundlegende Ableitungsregeln.