Eigenschaften bestimmter Integrale

Bestimmte Integrale haben Eigenschaften, die das Rechnen damit deutlich vereinfachen.

Ein beliebiger Faktor $k \in \mathbb{R}$ darf vor das Integral gezogen werden.

Beispiel:

$\int\limits_{2}^{3}$ $\color{red}{3}$ $x^2$ $dx$ $= \color{red}{3}$ $\int\limits_{2}^{3} x^2$ $dx$ $= 3 \cdot [ \frac{1}{3} x^3]_{2}^{3}$ $= 3 \cdot (\frac{1}{3} 3^3 - \frac{1}{3} 2^3) = 3 \cdot (\frac{27}{3} - \frac{8}{3}) = 3 \cdot \frac{19}{3} = 19$

Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral sein Vorzeichen.

Beispiel:

$\int\limits_{2}^{3}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= [x^3]_{2}^{3}$ $= 3^3 - 2^3 = 19$

$\int\limits_{\color{red}{3}}^{2}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= [x^3]_{\color{red}{3}}^{2}$ $= 2^3 - 3^3 = {\color{red}{-}}19$

Ein Integral kann in zwei oder mehr Teile geteilt werden. Dies hat keine Auswirkungen auf das Ergebnis. Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt, bleibt diesselbe.

Beispiel:

Wir nehmen das Rechenbeispiel von oben:
$\int\limits_{2}^{3}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= [x^3]_{2}^{3}$ $= 3^3 - 2^3 = 19$

Hier können wir das Integral in zwei kleinere Teile teilen:
$\int\limits_{2}^{\frac{5}{2}}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= [x^3]_{2}^{\frac{5}{2}}$ $= (\frac{5}{2})^3 - 2^3$
und
$\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= [x^3]_{\frac{5}{2}}^{3}$ $= 3^3 - (\frac{5}{2})^3$

Nun werden die beiden Teile addiert:
$\int\limits_{2}^{\frac{5}{2}}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $+$ $\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3}$ ${3}$ $x^2$ $dx$ $= (\frac{5}{2})^3 - 2^3 + 3^3 - (\frac{5}{2})^3$ $= 3^3 - 2^3 = 19$

Anwendung der dritten Eigenschaft:

Damit gilt auch: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)$ $dx$ $= \int\limits_{-\infty}^{0} f(x)$ $dx$ $+ \int\limits_{0}^{+\infty} f(x)$

Hieraus ergibt sich eine weitere wichtige Eigenschaft:
Wird von $-\infty$ bis $+\infty$ integriert, dann ist der Integrationsbereich um 0 symmetrisch. Einen um 0 symmetrischen Integrationsbereich erhält man in vielen Fällen. Hier sind weitere Beispiele aufgezeigt:
$\int\limits_{-3}^{+3} f(x)$ $dx$

$\int\limits_{-1}^{+1} f(x)$ $dx$

$\int\limits_{-273}^{+273} f(x)$ $dx$

Ist die untere Grenze gleich dem negativen Wert der oberen Grenze, dann ist der Integrationsbereich um 0 symmetrisch.

Betrachtung von geraden und ungeraden Funktionen über einen um 0 symmetrischen Integrationsbereich:

Ungerade Funktionen:

Das kann man sich anhand des Graphen einer ungeraden Funktion überlegen.

Zur besseren Veranschaulichung überlegen wir uns, wie groß die Fläche ist, die der Graph von $f(x) = x^3$ mit der $x$-Achse über einen um 0 symmetrischen Integrationsbereich einschließt. Wir verwenden den Bereich -7,5 bis 7,5.

Die beiden orange schraffierten Teile sind vom Betrag her gleich groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen. Addiert man die beiden Teile bzw. die Integrale
$\int\limits_{-7,5}^{0} x^3$ $dx$
und
$\int\limits_{0}^{7,5} x^3$ $dx$
erhält man 0.

Zum weiteren Verständnis, warum ein bestimmtes Integral 0 werden kann, obwohl der Flächeninhalt betragsmäßig $>0$ ist, beachten Sie den folgenden Abschnitt Flächeninhalt und Stammfunktion.

Gerade Funktionen:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)$ $dx$ $= 2 \cdot$ $\int\limits_{-\infty}^{0} f(x)$ $dx$ $= 2 \cdot \int\limits_{0}^{+\infty} f(x)$ $dx$; $f(x)$ gerade

Das kann man sich anhand des Graphen einer geraden Funktion überlegen.

Zur besseren Veranschaulichung überlegen wir uns, wie groß die Fläche ist, die der Graph von $f(x) = x^2$ mit der $x$-Achse über einen um 0 symmetrischen Integrationsbereich einschließt. Wir verwenden den Bereich -7,5 bis 7,5.

Die beiden orange schraffierten Teile sind vom Betrag her gleich groß. Da sie beide oberhalb der $x$-Achse liegen, haben beide Teile ein positives Vorzeichen. Addiert man die beiden Teile bzw. deren Integrale, erhält man als Ergebnis zweimal den linken Teil bzw. zweimal den rechten Teil.
$\int\limits_{-7,5}^{+7,5} x^2$ $dx$ $= 2 \cdot$ $\int\limits_{-7,5}^{0} x^2$ $dx$ $= 2 \cdot \int\limits_{0}^{+7,5} x^2$ $dx$
da:
$\int\limits_{-7,5}^{0} x^2$ $dx$ $= \int\limits_{0}^{+7,5} x^2$ $dx$

Ein Integral, bei dem die obere und die untere Integrationsgrenze gleich sind, ist gleich 0.

Beispiel:

$\int\limits_{2}^{2} 3 x^2$ $dx$ $= [3 \cdot \frac{1}{3} x^3]_{2}^{2} = 2^3 -2^3 = 0$

Das Integral über die Addition zweier Funktionen $f$ und $g$ kann auch als zwei einzelne Integrale geschrieben werden.

Beispiel:

$\int\limits_{2}^{3} x^2$ $dx$ $+ \int\limits_{2}^{3} {\color{green}{x}}$ $dx$ $= [ \frac{1}{3} x^3 ]_{2}^{3} + {\color{green}{[ \frac{1}{2} x^2 ]_{2}^{3}}}$ $= ( \frac{1}{3} \cdot (3^3-2^3)) + {\color{green}{(\frac{1}{2} \cdot (3^2 - 2^2))}}$ $= \frac{19}{3} + \frac{5}{2}$ $= \frac{53}{6}$ $= [ \frac{1}{3} x^3 + {\color{green}{\frac{1}{2} x^2}} ]_{2}^{3}$ $= \int\limits_{2}^{3} (x^2 + {\color{green}{x}})$ $dx$

Beispiel zur Anwendung mehrerer Eigenschaften in Kombination:

$\int\limits_{-1}^{1} (3 \cdot x^2 - x + 5)$ $dx$
$= \int\limits_{-1}^{1} (3 \cdot x^2)$ $dx$ $+ \int\limits_{-1}^{1} (-x)$ $dx$ $+ \int\limits_{-1}^{1} 5$ $dx$      s. 5. Eigenschaft
$= 3 \cdot \int\limits_{-1}^{1} x^2$ $dx$ $- \int\limits_{-1}^{1} x$ $dx$ $+ 5 \cdot \int\limits_{-1}^{1} 1$ $dx$      s. 1. Eigenschaft
$= 3 \cdot [\frac{1}{3} x^3]_{-1}^{1}$ $- [\frac{1}{2} x^2]_{-1}^{1}$ $+ 5 \cdot [x]_{-1}^{1}$
$= 3 \cdot [ \frac{1}{3} \cdot (1^3 - (-1)^3) ]$ $- [\frac{1}{2} \cdot (1^2 - (-1)^2)]$ $+ 5 \cdot [1- (-1)]$
$= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 - 0 + 5 \cdot 2$
$= 2 + 10$
$= 12$