Bestimmte Integrale

Bestimmte Integrale besitzen im Gegensatz zu unbestimmten Integralen Integrationsgrenzen.

Wir überlegen uns die Definition bzw. Berechnung von bestimmten Integralen anhand eines Schaubilds:

Mit bestimmten Integralen lassen sich anschaulich abgegrenzte Flächeninhalte bestimmen, die der Graph einer Funktion $f(x)$ mit der $x$-Achse in einem bestimmten Intervall einschließt.

Berechnung bestimmter Integrale¶

Beispiele:

1. $\int\limits_{-1}^{3} x^4$ $dx$ $= [\frac{1}{5} x^5]_{-1}^{3} = (\frac{1}{5} \cdot 3^5 - \frac{1}{5} \cdot (-1)^5) = \frac{1}{5} (243- (-1)) = \frac{244}{5}$
   
   

2. $\int\limits_{1}^{e} \frac{1}{x}$ $dx$ $= [ln\vert x \vert]_{1}^{e} = ln \vert e \vert - ln \vert 1 \vert = 1-0 =1$
   
   

3. $\int\limits_{0}^{1} e^{-5t}$ $dx$ $=[- \frac{1}{5} e^{-5t}]_{0}^{1} = - \frac{1}{5} (e^{-5 \cdot 1} - e^{-5 \cdot 0}) = - \frac{1}{5} (e^{-5t} -1 )$