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Grundlegende Ableitungsregeln

Potenzregel

Beispiel 1:
f(x)=x4   →   f′(x)=4x3 f(x) = x^4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 4x^3
Beispiel 2:
f(x)=x20   →   f′(x)=20x19 f(x) = x^{20} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 20x^{19}
Beispiel 3:
f(x)=1x=x−1   f′(x)=−1⋅x−2=−1x2 f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \ \ \ f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
Beispiel 4:
f(x)=x3=x32   →   f′(x)=32⋅x32−1=32⋅x12=32⋅x f(x) = \sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}} \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} -1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

Ableitungen wichtiger Grundfunktionen

Folgende Ableitungen sollten Sie immer parat haben bzw. auswendig wissen:

FunktionAbleitung
f(x)=c f(x) = c f′(x)=0 f'(x) = 0
f(x)=xrf(x) = x^r f′(x)=r⋅xr−1f'(x) = r \cdot x^{r-1}
f(x)=sin⁡(x) f(x) = \sin(x) f′(x)=cos⁡(x) f'(x) = \cos(x) $
f(x)=cos⁡(x) f(x) = \cos(x) f′(x)=−sin⁡(x) f'(x) = -\sin(x)
f(x)=ex f(x) = e^x f′(x)=ex f'(x) = e^x
f(x)=ln⁡(x) f(x) = \ln(x) f′(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x}
f(x)=ax f(x) = a^x f′(x)=(ln⁡a)⋅ax f'(x) = (\ln{a}) \cdot a^x

Faktorregel

Beispiel 1:
f(x)=5⋅x3   →   f′(x)=5⋅3x2=15x2 f(x) = 5 \cdot x^3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2
Beispiel 2:
g(t)=a⋅t2n−5   →   g′(x)=dgdt=a⋅(2n−5)t2n−5−1=a⋅(2n−5)t2n−6 g(t) = a \cdot t^{2n-5} \ \ \ \rightarrow \ \ \ g'(x) = \frac{dg}{dt} = a \cdot (2n-5) t^{2n-5-1} = a \cdot (2n-5) t^{2n-6}
Beispiel 3:
p(x)=2⋅ln⁡x   →   p′(x)=dpdx=2⋅1x=2x p(x) = 2 \cdot \ln{x} \ \ \ \rightarrow \ \ \ p'(x) = \frac{dp}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}

Summenregel

Beispiel 1:
f(x)=2x−3   →   f′(x)=2−0=2 f(x) = 2x -3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ f'(x) =2 - 0 = 2
Beispiel 2:
u(x)=mx+b   →   u′(x)=m u(x) = mx + b \ \ \ \rightarrow \ \ \ u'(x) = m
Beispiel 3:
e(x)=−2x2+5x+3   →   e′(x)=−2⋅2x+5=−4x+5 e(x) = -2x^2 + 5x + 3 \ \ \ \rightarrow \ \ \ e'(x) = -2 \cdot 2x + 5 = -4x + 5

Ein Beispiel zur Potenz-, Faktor- und Summenregel gibt es im Video unter: https://youtu.be/Mye0FraACQ0

Produktregel

Für die Ableitung des Produkts zweier Funktionen gilt:

Hier im Video wird die Produktregel mit einem Beispiel nochmal erklärt! https://youtu.be/4Ewk2tKDKkQ

Beispiel 1:

f(x)=(x2−x+1)⋅ln⁡x=u(x)⋅v(x) f(x) = \color{blue}{(x^2-x+1)} \cdot \color{green}{\ln{x}} = \color{blue}{u(x)} \cdot \color{green}{v(x)}

→   u′(x)=2x−1 \rightarrow \ \ \ \color{orange}{u'(x) = 2x-1}

→   v′(x)=1x \rightarrow \ \ \ \color{red}{v'(x) = \frac{1}{x}}

→   f′(x)=(2x−1)⋅ln⁡x+(x2−x+1)⋅1x \rightarrow \ \ \ f'(x) = (2x-1) \cdot \ln{x} + (x^2-x+1) \cdot \frac{1}{x}

Beispiel 2:

e(x)=7x⋅cos⁡x=u(x)⋅v(x) e(x) = \color{darkblue}{7x} \cdot \color{orange}{\cos{x}} = \color{darkblue}{u(x)} \cdot \color{orange}{v(x)}

→   u′(x)=7 \rightarrow \ \ \ \color{red}{u'(x) = 7}

→   v′(x)=−sin⁡x \rightarrow \ \ \ \color{green}{v'(x) = -\sin{x}}

→   e′(x)=7⋅cos⁡x+7x⋅(−sin⁡x)=7⋅(cos⁡x−x⋅sin⁡x) \rightarrow \ \ \ e'(x) = 7 \cdot \cos{x} + 7x \cdot (-\sin{x}) = 7 \cdot (\cos{x} - x\cdot \sin{x})

Anwendung von Faktor-, Summen- und Produktregel:

Häufig müssen Ableitungen gemischt angewendet werden.

Beispiel: f(x)=−4x3−2x2⋅ln⁡(x)+0,4x⋅sin⁡(x)+33=−4x3−2x2⋅ln⁡(x)+0,4x⋅sin⁡(x)+33=g1(x)+g2(x)+g3(x)+g4(x) f(x) = -4x^3 -2x^2 \cdot \ln{(x)} + 0,4x \cdot \sin{(x)} + 33 = \color{orange}{-4x^3} \color{blue}{-2x^2 \cdot \ln{(x)}} \color{green}{+0,4x \cdot \sin{(x)}} \color{darkred}{+33} = \color{orange}{g_1(x)} + \color{blue}{g_2(x)} + \color{green}{g_3(x)} + \color{darkred}{g_4(x)}

Beispiel:

f(x)=−4x3−2x2⋅ln⁡(x)+0,4x⋅sin⁡(x)+33=−4x3−2x2⋅ln⁡(x)+0,4x⋅sin⁡(x)+33=g1(x)+g2(x)+g3(x)+g4(x) f(x) = -4x^3 -2x^2 \cdot \ln{(x)} + 0,4x \cdot \sin{(x)} + 33 = \color{orange} {-4x^3} \color{blue}{-2x^2 \cdot \ln{(x)}} \color{green}{+0,4x \cdot \sin{(x)}} \color{darkred}{+33} = \color{orange}{g_1(x)} + \color{blue}{g_2(x)} + \color{green}{g_3(x)} + \color{darkred}{g_4(x)} Vorgehensweise:

  1. Man verwendet die Summenregel und leitet die einzelnen Summanden ab.

  2. Man beachte die Produkte innerhalb der einzelnen Summanden. Hierfür muss zur Ableitung die Produktregel angewandt werden.

f′(x)=−12x2−4x⋅ln⁡(x)−2x2⋅1x+0,4⋅sin⁡(x)+0,4x⋅(−cos⁡(x)) f'(x) = \color{orange}{-12x^2} \color{darkblue}{-4x \cdot \ln{(x)} - 2x^2 \cdot \frac{1}{x}} \color{green}{+0,4 \cdot \sin{(x)} + 0,4x \cdot (-\cos{(x)})}

=−12x2−2x⋅(2ln⁡(x)+1)+0,4⋅(sin⁡(x)−x⋅cos⁡(x)) = -12x^2 -2x \cdot (2 \ln{(x)} + 1) + 0,4 \cdot (\sin{(x)} - x \cdot\cos{(x)})

Quotientenregel

Auch zur Quotientenregel gibt es ein Video auf dem YouTube-Kanal studien.cloud: https://youtu.be/rCVfiwrRIPU

Beispiel:

f(x)=2x+1x2−3=u(x)v(x) f(x) = \frac{2x+1}{x^2-3} = \frac{u(x)}{v(x)}

→u(x)=2x+1 \rightarrow u(x) = 2x+1

→v(x)=x2−3 \rightarrow v(x) = x^2-3

→u′(x)=2 \rightarrow u'(x) = 2

→v′(x)=2x \rightarrow v'(x) = 2x

→f′(x)=2⋅(x2−3)−(2x+1)⋅2x(x2−3)2=2x2−6−4x2−2x(x2−3)2=−2x2−2x−6(x2−3)2=−2x2+2x+6(x2−3)2 \rightarrow f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2-3) - (2x+1) \cdot 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^2-6 - 4x^2 -2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-2x^2 -2x -6}{(x^2-3)^2} = - \frac{2x^2+2x+6}{(x^2-3)^2}

Anwendung der Quotientenregel zur Berechnung der Ableitung von f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan{(x)} :

f(x)=tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x) f(x) = \tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}

→   f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))(cos⁡(x))2=(cos⁡(x))2+(sin⁡(x))2(cos⁡(x))2 \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{\cos{(x)} \cdot \cos{(x)} - \sin{(x)} \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2} = \frac{(\cos{(x)})^2 + (\sin{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2}

da gilt: (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1 (\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1

→f′(x)=1(cos⁡(x))2 \rightarrow f'(x) = \frac{1}{(\cos{(x)})^2}

oder:

→f′(x)=(cos⁡(x))2(cos⁡(x))2+(sin⁡(x))2(cos⁡(x))2=1+(tan⁡(x))2 \rightarrow f'(x) = \frac{(\cos{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2} + \frac{(\sin{(x)})^2}{(\cos{(x)})^2} = 1 + (\tan{(x)})^2

Kettenregel

Im Video https://youtu.be/dJNxQKbbdkE wird ein Beispiel zur Kettenregel gerechnet.

Beispiel:

f(x)=x2−3x f(x) = \sqrt{x^2-3x}

→   v(x)=x2−3x   →   v′(x)=2x−3 \rightarrow \ \ \ v(x) = x^2-3x \ \ \ \rightarrow \ \ \ v'(x) = 2x-3

→   u(x)=v=v12   →   u′(x)=12⋅v−12=12⋅v \rightarrow \ \ \ u(x) = \sqrt{v}= v^{\frac{1}{2}} \ \ \ \rightarrow \ \ \ u'(x) = \frac{1}{2} \cdot v^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{v}}

→   f′(x)=12⋅x2−3x⋅(2x−3)=2x−32⋅x2−3x \rightarrow \ \ \ f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2-3x}} \cdot (2x-3) = \frac{2x-3}{2 \cdot \sqrt{x^2-3x}}

Differentialrechnung
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Differentialrechnung
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