Momentane Änderungsrate

Warum Differentialrechnung?¶

Funktionen sind in der Natur und im Alltag allgegenwärtig. Um diese richtig analysieren und verstehen zu können, ist es sinnvoll, sie genau zu untersuchen, zum Beispiel im Hinblick auf Extrema, Änderungen, Grenzwerte... hier kommt die Differentialrechnung ins Spiel. Außerdem wird sie bei der Optimierung von Aufgaben benötigt.

Eine einfache Form der Optimierung haben Sie bereits vor sich, wenn Sie Ihren Garten gestalten wollen und eine möglichst große Fläche mit einer bestimmten Anzahl an Büschen begrenzen möchten.

Die Ableitung als momentane Änderungsrate¶

Anschauliche Berechnung der Steigung in einem Punkt $(x_0|f(x_0))$ anhand einer Geraden.

Diese verläuft zunächst durch zwei Punkte: $(x_0|f(x_0))$ und einen weiteren Punkt, der von $(x_0|f(x_0))$ $\Delta x$ entfernt ist. Von links nach rechts wird $\Delta x$ immer kleiner.

Genaue Beschreibung der Vorgehensweise anhand der Graphen von links nach rechts:

1. Eine Gerade schneidet den Graphen von $f$ in zwei Punkten, dies sind $(x_0|f(x_0))$ und $(x_0 + \Delta{x}| f(x_0 + \Delta{x}))$.

2. Die Steigung der Geraden kann mit $m = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(x_0+\Delta{x}) - f(x_0)}{\Delta{x}}$ charakterisiert werden. Hier spricht man vom Differenzenquotienten.

3. Das $\Delta{x}$ wird verkleinert. Dadurch entsteht eine neue Gerade mit einer anderen Steigung, die aber wieder gleich bestimmt werden kann.

4. Das $\Delta{x}$ wird schrittweise weiter verkleinert. Dadurch entsteht jeweils eine neue Gerade mit einer anderen Steigung. Wird $\Delta{x}$ infinitesimal (unendlich) klein, so wird die Gerade eine Tangente und berührt den Graphen von $f$ in einem Punkt (grüne Gerade). Die Steigung dieser Tangente entspricht dann der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $x_0$.

Wenn also $\Delta{x}$ gegen 0 geht, wir also den Grenzwert für $\Delta{x} \rightarrow 0$ bilden, erhalten wir die 1. Ableitung der Funktion $f$. Hier spricht man auch vom Differentialquotienten.

Die Ableitung $f'(x)$ ist eine neue Funktion. Sie ordnet jedem Punkt $x$ die Steigung der ursprünglichen Funktion zu und beschreibt, “wie stark” sich die ursprüngliche Funktion ändert.

Um die Ableitungsfunktion zu bestimmen, kann direkt in den Differenzenquotienten eingesetzt und der Differentialquotient gebildet werden. Diese Rechnung ist recht aufwändig. Versuchen Sie es zum Verständnis trotzdem einmal mit der Funktion $f(x) = x^2$. Machen Sie dazu den folgenden Ansatz:

$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{(x+\Delta{x})^2 - (x^2)}{\Delta{x}}$

Behalten Sie im Auge, dass Sie als Ergebnis $f'(x) = 2x$ erhalten wollen.

Mit einem Klick auf die Glühbirne sehen Sie Details zur Rechnung.