Extrema

Extremstellen¶

Bisher wissen wir:

• für $f(x_1) < f(x_2)$ für $x_1 < x_2$ ist die Funktion $f$ monoton wachsend

• für $f(x_1) > f(x_2)$ für $x_1 < x_2$ ist die Funktion $f$ monoton fallend

Hierfür kann auch die 1. Ableitung $y' = f'(x)$ herangezogen werden. Sie stellt die Steigung der Kurventangente dar und beschreibt das Monotonie-Verhalten.

$f$ ist streng monoton wachsend, falls $f'(x) > 0$ (linke Abbildung)

$f$ ist streng monoton fallend, falls $f'(x) < 0$ (rechte Abbildung)

Ein Beispiel für eine monoton wachsende Funktion ist $f(x) = x^3$. Hier ist $f'(x) = 3x^2 > 0$ für $x ≠ 0$.

Extremwerte (Minima, Maxima) werden auch als optimale Werte bzw. Optima bezeichnet. Die Bestimmung von Extremwerten findet vor allem bei der Optimierung von Problemstellungen eine Anwendung.

Geometrische Interpretation:

Ist $x_e$ ein lokaler Exptremwert, dann ist die Steigung der Tangente im Punkt $(x_e/f(x_e))$ gleich Null.

Die in grün dargestellten Tangenten an den Stellen $x_{e1}, x_{e2}$ und $x_{e3}$ veranschaulichen die Extremstellen des dargestellten Graphen.

Anwendung in der Physik:

• Wo ist die Geschwindigkeit minimal?

• Wo wird die Stromstärke maximal?

Bestimmung von Extremwerten¶

Ist an der Stelle $x_T$ bzw. $x_H$ $f''(x_T) = 0$ bzw. $f''(x_H) = 0$, so muss beachtet werden, ob $f'(x)$ dort einen Vorzeichenwechsel und der Graph von $f$ damit eine Krümmung besitzt.

Beispiel 1:

$f(x) = x^2$ besitzt an der Stelle $x_T = 0$ eine waagrechte Tangente und weist eine Linkskrümmung auf.

Die Ableitungen lauten folgendermaßen:

$f'(x) = 2x$

$f''(x) = 2$

$f'(x_T) = 0$ und $f''(x_T) > 0$

$f(x)$ hat damit bei $(x_T/f(x_T)$ einen Tiefpunkt.

Beispiel 2:

$f(x) = -x^2$ besitzt an der Stelle $x_H = 0$ eine waagrechte Tangente und weist eine Rechtskrümmung auf.

Die Ableitungen lauten folgendermaßen:

$f'(x) = -2x$

$f''(x) = -2$

$f'(x_H) = 0$ und $f''(x_H) < 0$

$f(x)$ hat damit im Punkt $(x_H/ f(x_H)$ einen Hochpunkt.

Zusammenfassung zur Vorgehensweise für die Bestimmung von Extremwerten:¶

Beispiel:

$f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 -x^2$

1. Schritt: Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion. $f'(x) = x^3 +x^2 -2x$
   $f''(x) = 3x^2 +2x -2$

2. Schritt: Berechnen Sie die Nullstellen von $f'(x)$. $f'(x) = x^3 +x^2 -2x = x (x^2+x-2) = 0$
   Mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel ergeben sich die Nullstellen
   $x = 0, \quad x = 1, \quad x = -2$

3. Schritt: Setzen Sie Ihre Werte der Nullstellen von $f'(x)$ in $f''(x)$ ein.
   Man erhält:
   $f''(0) = -2 < 0$ : ergibt ein lokales Maximum im Punkt $(0/f(0)) = (0/0)$
   $f''(1) = 3 > 0$ : ergibt ein lokales Minimum im Punkt $(1/f(1)) = (1/ - \frac{5}{12})$
   $f''(-2) = 6 > 0$ : ergibt ein lokales Minimum im Punkt $(-2/f(-)) = (-2/ - \frac{8}{3})$