Höhere Ableitungen

Leitet man die erste Ableitung ein weiteres Mal ab, erhält man die zweite Ableitung.

Beispiel:

Funktion: $f(x) = 3x^6 + 2x^2 +5$

1. Ableitung: $f'(x) = 18x^5 + 4x$

2. Ableitung: $f''(x) = 90x^4 + 4$

Oft lassen sich auch höhere Ableitungen als die zweite einer Funktion bestimmen. Diese höheren Ableitungen sind nur dann möglich, wenn die Funktion stetig differenzierbar ist.

Differenzierbar heißt, die Funktion kann in ihrem Definitionsbereich an allen Stellen durch eine lineare Funktion angenähert werden. Nicht differenzierbar ist beispielsweise eine Funktion, die einen “Knick” in ihrem Schaubild besitzt.

Stetig differenzierbar bedeutet, dass die Ableitungsfunktion eine stetige Funktion ist. Der Graph der Ableitungsfunktion weist keine “Unterbrechung” auf.

Die Betragsfunktion $f(x) = \left| x \right|$ ist ein Beispiel für eine Funktion, die an der Stelle $x = 0$ nicht differenzierbar ist (siehe Abbildung).