Skalarprodukt

Definition¶

Orthogonale Vektoren ($\alpha$=90°)¶

Winkel zwischen zwei Vektoren¶

Beweis:

Aus der Definition ergibt sich:

$$\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos(\alpha)$$

Also für $|\vec{a}| \neq 0$ und |$\vec{b}| \neq 0$ :

$$\Longrightarrow \cos(\alpha)= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}} {|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \Longrightarrow \alpha= arccos(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})$$

Berechnung des Skalarprodukts mit den Vektorkomponenten¶

Anwendung¶

Winkel zwischen Vektoren (z.B. zwischen Kräften in der Statik)¶

Gegeben sind zwei Kräfte $\vec{F_1} \left(\begin{matrix} 20 \ N \\ 100 \ N \end{matrix}\right)$ und $\vec{F_2} \left(\begin{matrix}80\ N \\ 30\ N \end{matrix}\right)$. Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen ihnen?

$\alpha= \arccos(\frac{\vec{F_1} \cdot \vec{F_2}}{|\vec{F_1}| \cdot |\vec{F_2}|})$

$\vec{F_1} \cdot \vec{F_2}= F_{1x}F_{2x}+ F_{1y}F_{2y}= 20 \cdot 80 + 100 \cdot 30=1600+3000=4600 \ N^2$
$|\vec{F_1}|=\sqrt{20^2+100^2}=102 \ N \ ;\ \ |\vec{F_2}|=\sqrt{80^2+30^2}= 85\ N$

Der Winkel zwischen $\vec{F_1}$ und $\vec{F_2}$ ist also: $\alpha= \arccos(\frac{4600}{102 \cdot 85})= 1.0115 \ \text{rad}= 58 °$

Berechnung der verrichteten Arbeit in der Physik¶

In der Physik wird die Arbeit $W$ durch das Skalarprodukt aus Kraft $\vec{F}$ und Strecke $\vec{s}$ mit $W =\vec{F} \cdot \vec{s}$ ermittelt. Die Einheit der Arbeit $W$ ist $N \cdot m = J$
Ein Spediteur schiebt eine Kiste mit der Kraft $\vec{F} \left(\begin{matrix} 100 \ N \\ 0 \ N \end{matrix}\right)$ eine Rampe hinauf $\vec{s}=\left(\begin{matrix}4 \ m \\3 \ m \end{matrix}\right)$ .
Gesucht ist die Arbeit $W$, die von der Kraft $\vec{F}$ verrichtet wird.

Berechnung von $W$:
$W =\vec{F} \cdot \vec{s}=\left(\begin{matrix}F_{x}\\ F_{y} \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}s_{x}\\ s_{y} \end{matrix}\right)$
$W = F_{x} s_{x}+ F_{y} s_{y}=100 \ N \cdot 4 \ m + 0 \ N \cdot 3 \ m= 400 \ N\cdot \ m= 400 \ J$