Eigenschaften von Vektoren

Definition¶

Darstellung eines Vektors¶

Mit den Komponenten eines Vektors kann die Länge des Vektors berechnet werden.

Zur Darstellung von zwei- und dreidimensionalen Vektoren sehen Sie sich gerne das Video des studiVEMINT-Projekts der Universität Paderborn an: https://youtu.be/MVRqdNIZixQ

Länge eines Vektors¶

Beispiel:

Berechnung der Länge des Vektors $\mathbf{\vec{AB}}$ aus der nachfolgenden Grafik:

Das Dreieck in der rechten Abbildung kann links identifiziert werden. Es wird durch den Vektor $\vec{AB}$ und dessen $x$- und $y$- Komponente aufgespannt:
$c=|\vec{AB}|$ , $a=3$ und $b=7$.

Die Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt die Länge des Vektors $\vec{AB}$ :
$|\vec{AB}|= \sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}\simeq 7,6$ .

Eigenschaften von Vektoren¶

• Der Betrag (die Länge) eines Vektores ist immer größer gleich Null: $\vert \vec{a} \vert \ge 0$

• Zwei Vektoren gleicher Richung nennt man parallel.

• Zwei Vektoren entgegengesetzter Richung nennt man anti-parallel.

• Der inverse Vektor hat ein negatives Vorzeichen und kehrt lediglich die Richtung des Vektors um.

• Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden als gleich angesehen, d.h. $\vec{a} = \vec{b}$, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen.

Im Video “Was ist der Betrag eines Vektors” des studiVEMINT-Projekts der Universität Paderborn werden Betrag und Länge nochmal genau erklärt: https://youtu.be/gUTz0io7PTw

Spezielle Vektoren¶

Es gibt im Wesentlichen drei Haupttypen von speziellen Vektoren :

• Ortsvektoren sind im Ursprung verankert

• Nullvektoren haben die Länge Null

• Einheitsvektoren haben die Länge Eins.

Beispiele:

In der folgenden Grafik sind drei Ortsvektoren eingezeichnet:
Ein Ortsvektor zum Punkt B: $\left(\begin{matrix}3\\ 7 \end{matrix}\right)$
Ein Ortsvektor zum Punkt N: $\left(\begin{matrix}4\\ 4 \end{matrix}\right)$
Ein Ortsvektor zum Punkt H: $\left(\begin{matrix}-3\\ 2 \end{matrix}\right)$

Beispiel:

Ein typisches Beispiel für Einheitsvektoren sind die Basisvektoren $\mathbf{\vec{e_x}}$ und $\mathbf{\vec{e_y}}$. Sie bilden das zweidimensionale Koordinatensystem und geben dieRichtung der $x$- und $y$-Achse an.

Vektoren in drei Dimensionen¶