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Addition von Vektoren¶

Beispiel:: Rechnerische und graphische Addition zweier Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{matrix}2\\ 1 \end{matrix}\right)$ und $\vec{b} =\left(\begin{matrix}2\\ -2 \end{matrix}\right)$
Rechnerisch: $\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{matrix}2\\ 1 \end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}2\\ -2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}2+2\\ 1-2 \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}4\\ -1 \end{matrix}\right) =\vec{b} +\vec{a}$
Graphisch:

Subtraktion von Vektoren¶

Beispiel:: Rechnerische und graphische Addition zweier Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{matrix}2\\ 1 \end{matrix}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{matrix}2\\ -2 \end{matrix}\right)$
Rechnerisch: $\vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{matrix}2\\ 1 \end{matrix}\right)- \left(\begin{matrix}2\\ -2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}2-2\\ 1-(-2) \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}0\\ 3 \end{matrix}\right)$
Graphisch:

Skalarmultiplikation: Verlängern und verkürzen von Vektoren¶

Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors $\vec{a} = \left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y} \end{matrix}\right)$ mit einem Skalar $\lambda$ erfolgt komponentenweise:
$\lambda \cdot \vec{a}=\left(\begin{matrix}\lambda\cdot a_{x}\\ \lambda \cdot a_{y} \end{matrix}\right)$ mit $\lambda ∈ℝ$
Also: $|\lambda \cdot \vec{a}|= |\lambda|\cdot|\vec{a}|$

Die Skalarmultiplikation führt immer zu einem parallelen oder antiparallelen Vektor:
a. Multiplikation mit $|\lambda>1|$ verlängert (streckt) den Vektor
b. Multiplikation mit $|\lambda<1|$ verkürzt (staucht) den Vektor
c. Multiplikation mit $\lambda<0$ kehrt die Richtung des Vektors um

Beispiel:

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = \left(\begin{matrix}1\\ 2 \end{matrix}\right)$ . Dieser wird mit einem Skalar $\lambda$ multipliziert.

Rechnerische Multiplikation

a. Verlängerung: Für

\lambda=2

gilt

\lambda \cdot \vec{a} = 2 \cdot \vec{a} = \left(\begin{matrix} 2 \cdot 1\\ 2 \cdot 2 \end{matrix}\right)=

\left(\begin{matrix}2\\ 4 \end{matrix}\right)

b. Verkürzung: Für $\lambda=\frac{1}{2}$ gilt $\lambda \cdot \vec{a} =\frac{1}{2} \cdot \vec{a} = \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot 1\\ \frac{1}{2} \cdot 2 \end{matrix}\right)=$ $\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\ 1 \end{matrix}\right)$

c. Umkehrung der Richtung: Für $\lambda=-1$ gilt $\lambda \cdot \vec{a} = \left(\begin{matrix} (-1)\cdot 1\\ (-1) \cdot 2 \end{matrix}\right)=$ $\left(\begin{matrix}- 1\\ -2 \end{matrix}\right)= -\vec{a}$

Graphische Multiplikation:

$\vec{a}$ : grauer Vektor
Verlängerung für $\lambda=2$ : blauer Vektor
Verkürzung für $\lambda=\frac{1}{2}$ : roter Vektor
Umkehrung der Richtung für $\lambda=-1$ : grüner Vektor

Zur Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation finden Sie unter https://youtu.be/RqrbuQ5wCKE ein Video des studiVEMINT-Projekts der Universität Paderborn.

Der Einheitsvektor¶

Bestimmung eines Einheitsvektors

Der Einheitsvektor des Vektors $\vec{a} =\left(\begin{matrix}a_{x}\\ a_{y} \end{matrix}\right)$ wird gebildet, indem $\vec{a}$ durch seine Länge geteilt wird:

\mathbf{\vec{e_a}}= \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}

(1)

Man sagt auch: Der Vektor $\vec{a}$ wird „auf 1 normiert“.

Die Länge des Vektors ist gegeben durch : $|\vec{a}|=\sqrt{a_{x}^2+ a_{y}^2}$ .
Ein Vektor $\vec{a}$ wurde auf 1 normiert, wenn er mit dem Skalar $\lambda= \frac{1}{|\vec{a}|}$ multipliziert wurde: $\mathbf{\vec{e_a}}= \lambda \cdot {\vec{a}}$

Bei der Normierung ist $\lambda$ immer positiv, so dass die Richtung des Vektors $\vec{a}$ gleich bleibt.

Beispiel:

Der Vektor $\vec{a} = \left(\begin{matrix}3\\ 4 \end{matrix}\right)$ soll normiert werden.

Länge: $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
Der normierte Vektor ist : $\vec{e_a}=\frac{1}{5}\left(\begin{matrix}3\\ 4 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{matrix}\right)$
Die Länge des normierten Vektors ist: $|\vec{e_a}|=\sqrt{(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{3^2+4^2}{5^2}}=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{\sqrt{25}}{5}=1$

Linearkombinationen¶

Also: für $\lambda =\mu$ , $\lambda \cdot (\vec{a}+ \vec{b})= \lambda \cdot \vec{a}+\lambda \cdot \vec{b}$
$\hspace{0.8cm}$ für $\vec{a}=\vec{b}$ , $(\lambda+\mu) \cdot \vec{a} = \lambda \cdot \vec{a}+\mu \cdot \vec{a}$

Anwendung: Bestimmung eines Richtungsvektors aus Ortsvektoren¶

Gegeben sind die Punkte $P_1 (x_1/y_1)$ und $P_2 (x_2/y_2)$
mit den Ortsvektoren $\vec{OP_1} = \left(\begin{matrix}x_1\\ y_1 \end{matrix}\right)$ und $\vec{OP_2} = \left(\begin{matrix}x_2\\ y_2 \end{matrix}\right)$
und Vektor $\vec{a}$ durch den Anfangspunkt $P_1 (x_1/y_1)$ und den Endpunkt $P_2 (x_2/y_2)$ :

Der Vektor $\vec{a}$ ergibt sich damit aus:

$\vec{a} = \vec{P_1P_2} = \vec{P_1O} + \vec{OP_2} = - \vec{OP_1} + \vec{OP_2} = \left(\begin{matrix}x_2 - x_1\\ y_2 - y_1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a_x\\ a_y \end{matrix}\right)$