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Rechenregeln - mit angezeigtem Code¶

Dieses Notebook ist als Zusatz für alle diejenigen gedacht, die gerne wissen und verstehen wollen, wie diese Notebooks aufgabaut sind und was an Code dahinter steckt.

Hier zum Thema “Rechenregeln”

Allgemeiner Aufbau der Notebooks:¶

Die Notebooks bestehen aus verschiedenen Arten von Zellen. Man unterscheidet hier zwischen Code-Zellen und Markdown-Zellen. In den Code-Zellen wird Python-Code geschrieben. Die Markdown-Zellen dienen dazu, die Inhalte, wie zum Beispiel die gelben und grünen Kästen oder Überschriften und Tabellen, darzustellen.

Markdown-Zellen und die Darstellung von Inhalten¶

Im Notebook “01_Rechenregeln” sind ganz zu Beginn Zahlenmengen dargestellt. Dort findet sich der gelbe Kasten wie er in der folgenden Zelle nochmals abgebildet ist. Dieser Inhalt ist in einer Markdown-Zelle dargestellt.

Ob eine Zelle eine Code- oder Markdown-Zelle sein soll, kann eingestellt werden, indem man in die Zelle klickt und oben in der Menüleiste im Dropdown-Menu “Markdown” einstellt (dargestellt auf dem folgenden Bild).

Um zu sehen, wie die Markdown-Zellen gestaltet sind, klicken Sie doppelt in die folgende Zelle mit dem gelben Kasten. Dann öffnet sich der Code dahinter. Wenn Sie die Zelle ausführen, also Shift und Enter gleichzeitig drücken, gelangen Sie zurück zur darstellenden Form.

$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,...\}$ Menge der natürlichen Zahlen

$\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ Menge der ganzen Zahlen

$\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q}:p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}$ Menge der rationalen Zahlen

$\mathbb{R}$ Menge der reellen Zahlen

Der Code in den Markdown-Zellen ist mit HTML geschrieben. Damit entstehen die verschiedenen Schriftgrößen, Schriftfarben, die bunten Kästen, die Glühbirnen mit Tipps und die Einbettung von Bildern und Tabellen. Die mathematischen Formeln sind immer zwischen $-Zeichen mit Latex dargestellt.

Code-Zellen¶

In Code-Zellen wird Python-Code geschrieben. Für die Erstellung der Notebooks zu den Mathematik-Grundlagen wird die Python-Bibliothek sympy verwendet. Sympy steht für “symbolic python”. Eine weitere Bibliothek ist beispielsweise numpy (“numeric python”), die häufig für die Darstellung und für Berechnungen mit Vektoren und Matrizen verwendet wird. Alle Bibliotheken haben ihre Vorteile.

Sympy ist eine Python-Bibliothek, die wie ein Computeralgebrasystem (CAS), wie es auch Wolfram Alpha eines ist, nicht nur mit mathematischen Ausdrücken mit Zahlen, sondern auch mit symbolischen Ausdrücken wie Variablen, Funktionen... rechnen kann.

Wer gerne mehr zu sympy erfahren möchte, kann sich gerne unter https://www.sympy.org/ weiter informieren.

Zellen ausführen¶

Generell müssen Zellen ausgeführt werden, damit sie “funktionieren”. Für Markdown-Zellen bedeutet dies, dass der Inhalt dargestellt wird, wie er an der Oberfläche aussehen soll. In den Code-Zellen werden mit dem Ausführen der Zellen die Befehle ausgeführt.

Zellen werden ausgeführt, indem man Shift und Enter gleichzeitig gedrückt hält.

Grundlegende Befehle und Funktionen von sympy¶

Importieren von sympy und Definition von Variablen¶

Um eine Bibliothek verwenden zu können, muss diese zunächst importiert werden. Dies geschieht folgendermaßen:

import sympy as smp

Werden mehrere Bibliotheken verwendet, ist es sinnvoll, diese mit einem bestimmten Kürzel zu importieren, wie hier sympy als smp. Da wir (fast) ausschließlich sympy verwerden wollen, importieren wir die gesamte Bibliothek und müssen damit die Abkürzung smp nicht vor jeden Befehl schreiben. Dies geschieht folgendermaßen:

from sympy import*

Damit sympy mit Variablen und Funktionen arbeiten kann, müssen diese vorher definiert werden.

Wir wollen die Variablen $x$ und $y$ verwenden:

x,y = symbols('x,y')

Einführung von Zufallszahlen¶

Um Zufallszahlen in den Aufgaben zu generieren, verwenden wir in den Notebooks zu den mathematischen Grundlagen oft das Modul random. Es gehört nicht zur sympy-Bibliothek, sondern ist ein eigenes Python-Modul, weswegen es extra importiert werden muss.

Für ganze Zahlen eignet sich besonders random.randrange. Witere Informationen zum Modul random gibt es unter https://docs.python.org/3/library/random.html .

import random

#a soll eine Variable sein, die zufällig die Zahlen 2 bis 10 darstellt, jedoch nur jede Gerade Zahl
a = random.randrange(2,10,2)
a
#Führen Sie diese Zelle öfters aus, um zu sehen, was für Zahlen für a ausgegeben wird

Sympy-Code für die Inhalte in "Rechenregeln"¶

Grundrechenarten¶

Wir wollen den Term

Unexpected character: '\' at position 46: …rac{y}{2})^2 \ \̲

\ \  3 \cdot (2x + 5) - (1- \frac{y}{2})^2 \ \

darstellen.

Dies geschieht folgendermaßen:

#Vergleichen Sie den Code und den oberen Term
#Machen Sie sich klar, welche Rechenoperationen wie dargestellt werden
term = 3*(2*x + 5) - (1- y/2)**2

#Führen Sie diese Zelle aus, um den Term mittels sympy dargestellt zu bekommen
term
#Was fällt auf?

UnevaluatedExpr¶

UnevaluatedExpr ist eine Methode von sympy, die dafür sorgt, dass der Inhalt eines Terms nicht vereinfacht wird. Mehr dazu auch unter: https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/manipulation.html

Zurück zum oberen Term:

Dieser soll auch von sympy so ausgegeben werden: $\ \ 3 \cdot (2x + 5) - (1- \frac{y}{2})^2 \ \$

#Vergleichen Sie die Darstellung des Terms
#Führen Sie die Zelle aus
term = UnevaluatedExpr(3*UnevaluatedExpr((2*x + 5))) - (1- y/2)**2
term

Ausklammern und Ausmultiplizieren¶

Im folgenden Term soll $x$ ausgeklammert werden:

$4ax + 5bx + 7cx$

Dies macht sympy mit dem Befehl factor.

#Wir definieren zunächst die vorkommenden Variablen, die noch nicht definiert sind
#Führen Sie die Zelle aus
a,b,c = symbols('a,b,c')
factor(4*a*x+5*b*x+7*c*x)

Um auszumultiplizieren, wird der Befehl expand verwendet.

$(x+2) \cdot (x+3)$

Der Term soll ausmultipliziert, also ohne Klammern geschrieben werden.

#Wir stellen zunächst den Term dar
term2 = (x+2)*(x+3)
term2

#Jetzt wird ausmultipliziert
expand(term2)

Umformungen von binomischen Formeln¶

Zur 1. Binomischen Formel betrachten wir den Term

$(x+2)^2$

#Wir stellen den Term zunächst dar
term3 = (x+2)**2
term3

sympy vereinfacht den Term also nicht automatisch. Um dies zu tun, muss wieder der Befehlt expand ausgeführt werden.

expand(term3)

Soll $x^2 +4x+4$ mit Klammern und als Potenz geschrieben werden, benötigen wir wieder den Befehlt factor.

factor(x**2+4*x+4)

Für die 2. und 3. Binomische Formel können dieselben Befehle verwendet werden.

Probieren Sie das anhand der folgenden Terme selbst aus, indem Sie sie mit Hilfe der binomischen Formeln umformen und die jeweiligen Befehle verwenden:

$(x-5)^2$

$(x-y)(x+y)$

$\frac{1}{x^2} - 1$

$x^2y^2 - 6xy +9$

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