Gleichungen, Gleichungssysteme und Gleichheit - mit angezeigtem Code¶
Dieses Notebook ist als Zusatz für alle diejenigen gedacht, die gerne wissen und verstehen wollen, wie diese Notebooks aufgabaut sind und was an Code dahinter steckt.
In diesem Notebook geht es um die Themen “Gleichungen, Gleichungssysteme und Gleichheit”.
#Wir importieren sympy
from sympy import*Eine Schwierigkeit mit CAS (wie es sympy eines ist) ist generell der Ausdruck “Gleichheit”. Darunter kann man drei verschiedene Aspekte fassen:
zwei Ausdrücke sind in ihrer Struktur gleich
die Gleichheit zweier Ausdrücke, die bewiesen werden soll
Bestimmung einer Unbekannten durch eine Bestimmungsgleichung
Sympy verwendet den Python-Operator== für strukturelle Gleichheit. In sympy sind zwei Ausdrücke nur gleich, wenn sie bis auf kleine, triviale Umformungen gleich sind. Was an dieser Stelle jedoch “klein und trivial” bedeutet, ist eher schwer zu definieren.
Beispiele zur Gleichheit¶
#Führen Sie die folgenden Zellen aus
#Definition von Variablen
x,y = symbols('x,y')#Beispiele zur strukturellen Gleichheit in sympy
x + x + 2 == 2*(x+1)#weiteres Beispiel zur strukturellen Gleichheit bzw. Ungleichheit
(x+1)**2 == x**2 + 2*x*1 + 1Gleichungen darstellen und lösen¶
#Führen Sie die folgenden Zellen aus
#Darstellung einer Gleichung
Eq(2*x**2 + x,12)Mit Eq(lhs,rhs) lassen sich Gleichungen darstellen. In der Klammer steht zuerst die linke Seite der Gleichung, nach einem Komma deren rechte Seite.
#Lösen einer Gleichung
solveset(Eq(2*x**2 + x,12),x,Naturals)Zum Lösen einer Gleichung verwendet man solveset(Eq(lhs,rhs),variable). Nach der Variable kann in der Klammer zusätzlich der Lösungsraum angegeben werden. Standardgemäß ist dieser auf Complexes gesetzt. Das heißt, es werden alle Lösungen, auch komplexe, ausgegeben. Dieser kann aber auch auf Reals für reelle oder Naturals für natürliche Zahlen als Lösung gesetzt werden.
Lineare Gleichungssysteme¶
#Führen Sie die folgenden Zellen aus
#Aufstellen eines Gleichungssystems
lgs = [4*x + 2*y -2, 2*x + 2*y - 2]
lgs#Lösen des Gleichungssystems
linsolve(lgs,(x,y))Zum Lösen eines linearen Gleichungssystems benötigt man den Befehl linsolve. In runden Klammern wird dann das bereits definierte Gleichungssystem geschrieben und anschließend in weiteren runden Klammern die Variablen, nach denen aufgelöst werden soll. Man beachte: Bei der Definition der Gleichungssysteme werden die Gleichungen so dargestellt, dass auf der rechten Seite eine 0 steht.