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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten¶

Handwerkszeug für dieses Notebook:¶

Rechenoperationen:

Multiplikation: *

Division und Brüche: /

Eingabe von Potenzen: **

Eingabe eines Kommas als Punkt: .

Eine Zelle ausführen: Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: $\sqrt{x} =$ sqrt(x) und n-te Wurzeln: $\sqrt[n]{x} =$ x**(1/n)

$e$ -Funktion: $e^x$ = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Sie können in eine neue Codezelle immer Spickzettel() schreiben und die Zelle ausführen. Dann erhalten Sie das Handwerkszeug für das Notebook nochmals direkt.

Wieso Gleichungssysteme?¶

Im Gegensatz zu einer linearen Gleichung, wie im Notebook 01_Lineare_Gleichungen.ipynb, besteht ein lineares Gleichungssystem (LGS) aus mehreren Gleichungen und mehreren Unbekannten. Der einfachste Fall sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Anschaulich betrachtet man die Graphen zweier linearer Funktionen. In einem gemeinsamen zweidimensionalen Koordinatensystem können diese

sich in einem Punkt schneiden
parallel verlaufen
identisch sein.

Damit gibt es

eine Lösung
keine Lösung oder
unendlich viele Lösungen.

Lineare Gleichungssysteme werden verwendet, wenn mehrere Unbekannte vorliegen, denen ein Wert zugeordnet werden soll. Alltagsbeispiele hierfür sind

In einem Skigebiet gibt es Liftkarten für Kinder und Erwachsene. Zwei Familien kaufen jeweils unterschiedlich viele Karten für Kinder und Erwachsene. Beide zahlen am Ende die Summe. Nun ist interessant, was je eine Karte kostet. Mit Hilfe der beiden Summen und der verschiedenen Anzahl an Karten können dann über ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten die Preise ermittelt werden.
Ein Polizeiauto startet eine Verfolgungsjagd mit einem Motorrad. Beide Fahrzeuge fahren mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und starten zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Nach welcher Strecke hat das Polizeiauto das Motorrad eingeholt?
Auch hierfür kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten verwendet werden.
Weitere Anwendungen sind die Bestimmung von Lager- und Stabkräften in der Technischen Mechanik, die Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik oder die Optimierung optischer Systeme.

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten¶

Mit dem folgenden Beispiel liegt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten vor:

$4x + 2y = 2$ (1)
$2x + 2y = 2$ (2)

Häufig findet man auch:
$4x_1 + 2x_2 = 2$ (1)
$2x_1 + 2x_2 = 2$ (2)

Lösungsverfahren¶

Es gibt drei Möglichkeiten, ein solches Gleichungssystem zu lösen:

1. Das Gleichsetzungsverfahren:

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. In manchen Fällen ist dies in der Aufgabe bereits der Fall. Dann bietet sich dieses Verfahren besonders an.
Wenn beide Gleichungen aus dem Beispiel nach $x$ , bzw. $x_1$ , aufgelöst werden, erhält man:

$(1)$ :
$4x + 2y = 2$
$4x = 2 - 2y$ $|:4$
$x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}y$

$(2)$ :
$2x + 2y = 2$
$2x = 2 - 2y$ $|:2$
$x = 1 - y$

Anschließend werden die beiden Terme für $x$ gleichgesetzt:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}y = 1 - y$      $|+ \frac{1}{2}y$
$\frac{1}{2}= 1 - \frac{1}{2}y$      $|-1$
$- \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}y$      $|:(-\frac{1}{2})$
$1 = y$

Den Wert für $x$ erhält man, indem $y = 1$ in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt wird.

Beim Einsetzen in Gleichung $(2)$ ergibt sich:

$2x + 2 \cdot 1 = 2$ $|-2$
$2x = 0$ $|:2$
$x = 0$

Daraus ergibt sich die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{ 0,1 \}$ .

2. Das Einsetzungsverfahren:

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der Term, der sich für diese Variable ergibt, wird dann in die zweite Gleichung eingesetzt.
Diese Methode bietet sich an, wenn eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

Im Beispiel von oben mit den beiden Gleichungen
$4x + 2y = 2$ (1)
$2x + 2y = 2$ (2)
könnte zum Beispiel Gleichung $(2)$ in einem ersten Schritt nach $x$ aufgelöst werden.

$(2)$ :
$2x + 2y = 2$
$2x = 2 - 2y$ $|:2$
$x = 1 - y$

In einem zweiten Schritt wird $x = 1 - y$ in Gleichung $(1)$ eingesetzt.

$4 \cdot (1 - y) + 2y = 2$      $|$ Ausmultiplizieren
$4 - 4y + 2y = 2$      $|$ Zusammenfassen
$4 - 2y = 2$      $| -4$
$-2y = -2$      $| : (-2)$
$y = 1$

Einsetzen in $x = 1 - y$ liefert:
$x = 1 - 1 = 0$
$x = 0$

3. Das Gaußverfahren:

Das Gaußverfahren basiert auf dem Additionsverfahren und eignet sich vor allem für die Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Deswegen wird das Gaußverfahren im Notebook LGS_mit_drei_Unbekannten (Link) genauer beschrieben.

Anzahl an Lösungen¶

Eine Lösung

Im Beispiel zum Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren besitzt das LGS eine eindeutige Lösung. Jeder Variablen kann ein Wert zugeordnet werden.
Ein LGS kann jedoch auch keine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Unendlich viele Lösungen

Ein Beispiel für ein LGS mit unendlich vielen Lösungen:
$4x + 2y = 2$ (1)
$2x + y = 1$ (2)

Löst man für das Gleichsetzungsverfahren beide Gleichungen nach $y$ auf, erhält man in beiden Fällen:
$y = -2x + 1$
Gleichgesetzt ergibt sich dann eine wahre Aussage:
$-2x + 1 = -2x + 1$
Damit kann für $x$ jede beliebige Zahl eingesetzt werden.

Keine Lösung

Ein Beispiel für ein LGS, das keine Lösung besitzt, ist:
$4x + 2y = 2$ (1)
$4x + 2y = 1$ (2)

Löst man beide Gleichungen nach $y$ auf und setzt die beiden Terme gleich, ergibt sich:
$1 - 2x = \frac{1}{2} - 2x$ $|+ 2x$
$1 = \frac{1}{2}$
Das ist eine falsche Aussage.
$1 ≠ \frac{1}{2}$

Geometrische Interpretation im zweidimensionalen Koordinatensystem¶

Die beiden Gleichungen
$4x + 2y = 2$ (1)
$2x + 2y = 2$ (2)
entsprechen jeweils einer Gleichung einer Geraden. In der Form
$y = mx + b$
mit Steigung $m$ und $y$ -Achsenabschnitt $b$ ist die Darstellung geläufiger.

Nach $y$ aufgelöst ergibt sich für die beiden Gleichungen:

$(1)$
$y = -2x +1$

und

$(2)$
$y = -x + 1$

Um die einzelnen Schritte der Gleichungsumformung zu sehen, klicken Sie auf das Smiley.

$(2)$

2x + 2y = 2

|

- 2x

2y = 2 - 2x

|

: 2

y = 1 - x

y = -x +1

Zeichnet man die beiden Geraden in ein Schaubild, so wird deutlich, dass sie einen Schnittpunkt haben. Wie bereits oben beim Lösen durch Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren gesehen, hat dieses LGS eine eindeutige Lösung. Das wird durch den Schnittpunkt $S(x/y)$ angezeigt.

# Drücken Sie gleichzeitig Shift und Enter, um die Zelle auszuführen und das Schaubild der Geraden darzustellen
from sympy import*
from sympy.plotting import plot

x = symbols('x') # Definition der Variablen x

plot(-2*x+1, -x+1, (x,-1,5),ylim=(-1,4), title='LGS mit eindeutiger Lösung') #Darstellung der beiden Geraden

Für LGS mit unendlich vielen Lösungen fallen die Schaubilder der Geraden zusammen:
LGS:
$4x + 2y = 2$ (1)
$2x + y = 1$ (2)

Umgestellt ergibt sich für die beiden Gleichungen:
$y = -2x +1$ (1)
$2y = -2x +1$ und damit ebenfalls:
$y = -2x +1$ (2)

# Drücken Sie gleichzeitig Shift und Enter, um die Zelle auszuführen und das Schaubild der Geraden darzustellen
from sympy import*
from sympy.plotting import plot

x = symbols('x') # Definition der Variablen x

plot(-2*x+1, -2*x+1, (x,-1,5),ylim=(-1,4), title='LGS mit unendlich vielen Lösungen') #Darstellung der beiden Geraden

Für LGS, die keine Lösung besitzen, sind die Geraden parallel:
LGS:
$4x + 2y = 2$       (1)
$4x + 2y = 1$       (2)

Umgestellt ergibt sich für die beiden Gleichungen:
$y = -2x + 1$       (1)
$y = - 2x + \frac{1}{2}$      (2)

# Drücken Sie gleichzeitig Shift und Enter, um die Zelle auszuführen und das Schaubild der Geraden darzustellen
from sympy import*
from sympy.plotting import plot

x = symbols('x') # Definition der Variablen x

plot(-2*x+1, -2*x+1/2, (x,-1,5),ylim=(-1,4), title='LGS ohne Lösung') #Darstellung der beiden Geraden