Skip to article frontmatterSkip to article content

Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten

Handwerkszeug für dieses Notebook:

Rechenoperationen:

Multiplikation:  *

Division und Brüche:  /

Eingabe von Potenzen:  **

Eingabe eines Kommas als Punkt:  .

Eine Zelle ausführen:  Enter und Shift gleichzeitig

Wurzeln: Quadratwurzeln: x= \sqrt{x} = sqrt(x) und n-te Wurzeln: xn= \sqrt[n]{x} = x**(1/n)

e e -Funktion: ex e^x = exp(x)

Logarithmen: ln(x) bzw. log(x)

Egal, wo Sie sich im Notebook befinden: Sie können in eine neue Codezelle immer Spickzettel() schreiben und die Zelle ausführen. Dann erhalten Sie das Handwerkszeug für das Notebook nochmals direkt.

Beispiel

Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen kann folgendermaßen aussehen:

3x+2y−z=1 3x + 2y - z = 1
2x−2y+4z=−2 2x - 2y + 4z = -2
−x+12y−z=0 -x + \frac{1}{2}y -z = 0

Oft werden nicht x,y,zx, y, z als Variablen verwendet, sondern x1,x2,...,xn x_1, x_2,...,x_n.

3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1
2x1−2x2+4x3=−2 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -2
−x1+12x2−x3=0 -x_1 + \frac{1}{2}x_2 -x_3 = 0

Das Gauss-Verfahren

Mit dem Gauss-Verfahren, auch Gauss-Elimination, können LGS mit nn Gleichungen und nn Unbekannten gelöst werden. Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren, wie im Notebook 01_LGS_mit_zwei_Unbekannten.ipynb beschrieben, versagen bei mehr als zwei Unbekannten.

Ziel ist es, ein LGS auf eine Dreiecksform zu bringen. In der letzten Zeile ergibt sich dann eine Gleichung, in der die Lösung für x3 x_3 direkt abgelesen werden kann. Durch Rückwärtseinsetzen erhält man dann die Lösungen für die anderen Unbekannten.

3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1
2x1−2x2+4x3=−2 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -2
−x1+12x2−x3=0 -x_1 + \frac{1}{2}x_2 -x_3 = 0

Die Dreiecksform wird durch mathematische Umformungen erreicht. Erlaubt sind:

  • Vertauschen zweier Zeilen
  • Multiplikation einer Zeile mit einer beliebigen Zahl c∈R c \in \mathbb{R} mit c≠0 c ≠ 0
  • Addition eines beliebigen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile

Sind im zu lösenden Gleichungssystem in manchen Gleichungen Unbekannte nicht vorhanden bzw. der Vorfaktor zu einer Unbekannten =0 = 0, so vereinfacht sich das LGS direkt. Durch das geschickte Vertauschen von Zeilen kann dann ohne das Durchführen von Rechenoperationen schon eine teilweise Dreiecksform erreicht werden.

Anwendung des Gauss-Verfahrens am Beispiel:
3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1             (1) (1)
2x1−2x2+4x3=−2 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -2       (2) (2)
−x1+12x2−x3=0 -x_1 + \frac{1}{2}x_2 -x_3 = 0          (3) (3)

Als erstes wird, um nicht mit Brüchen rechnen zu müssen, die dritte Zeile mit 2 multipliziert:
3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1
2x1−2x2+4x3=−2 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -2
−2x1+x2−2x3=0 -2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0

Die erste Zeile wird nun beibehalten. Die neue zweite Zeile ergibt sich, indem das 3-fache der zweiten Zeile zum -2-fachen der ersten addiert wird.
Die neue dritte Zeile ergibt sich, indem das 3-fache der dritten Zeile zum 2-fachen der ersten Zeile addiert wird.
3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1
−10x2+14x3=−8 -10x_2 +14x_3 = -8
7x2−8x3=2 7x_2 - 8x_3 = 2

Im nächsten Schritt werden die ersten beiden Zeilen abgeschrieben. Für die erneut neue dritte Zeile ergibt sich aus der Addition des 7-fachen der zweiten Zeile und des -10-fachen der dritten Zeile:
3x1+2x2−x3=1 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1
−10x2+14x3=−8 -10x_2 +14x_3 = -8
18x3=−36 18x_3 = -36

Damit ergibt sich x3=−2x_3 = -2.

Um die anderen Unbekannten zu berechnen, wird rückwärts eingesetzt.
Das heißt für x2x_2 verwendet man die zweite Zeile:
−10x2+14⋅(−2)=−8 -10x_2 +14 \cdot (-2) = -8
Und man erhält:
x2=−2x_2 = -2

Für x1x_1 benötigt man die erste Zeile:
3x1+2⋅(−2)−(−2)=1 3x_1 + 2 \cdot (-2) - (-2) = 1
Es ergibt sich:
x1=1x_1 = 1

Anzahl an Lösungen

Im Beispiel zur Veranschaulichung des Gauss-Verfahrens hatte das LGS eine eindeutige Lösung. Alle drei Unbekannten konnten eindeutig bestimmt werden.
Im Notebook 01_LGS_mit_zwei_Unbekannten.ipynb wurde bereits beschrieben, dass ein LGS auch keine oder unendlich viele Lösungen besitzen kann.

Keine Lösung

Ein Beispiel für ein LGS ohne Lösung und drei Unbekannten ist:

3x1−x2+2x3=1 3x_1 -x_2 + 2x_3 = 1
7x1−4x2−x3=−2 7x_1 - 4x_2 - x_3 = -2
−x1−3x2−12x3=−5 -x_1 - 3x_2 - 12x_3 = -5

Addiert man das -7-fache der ersten Gleichung zum 3-fachen der zweiten und die erste Gleichung zum 3-fachen der dritten, erhält man:
3x1−x2+2x3=1 3x_1 -x_2 + 2x_3 = 1
−5x2−17x3=−13 - 5x_2 - 17x_3 = -13
−10x2−34x3=−14 -10x_2 -34x_3 = -14

Addiert man schließlich noch das -2-fache der zweiten und die dritte Gleichung aus den letzten Umformungen, erhält man:
3x1+−x2+2x3=1 3x_1 + -x_2 + 2x_3 = 1
−5x2−17x3=−13 - 5x_2 - 17x_3 = -13
0x3=12 0x_3 = 12

Da die letzte Zeile eine falsche Aussage darstellt, besitzt das LGS keine Lösung.
Verwenden Sie das Beispiel zur Übung und versuchen Sie, auf die gleiche Lösung zu kommen.

Unendlich viele Lösungen

Das LGS
x1−2x2+3x3=4 x_1 − 2x_2 + 3x_3 = 4
3x1+x2−5x3=5 3x_1 + x_2 − 5x_3 = 5
2x1−3x2+4x3=7 2x_1 − 3x_2 + 4x_3 = 7
besitzt unendlich viele Lösungen. Nach einigen Umformungen erhält man in der dritten Zeile:
0x3=0 0x_3 = 0

Addiert man das -3-fache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung und das -2-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung, ergibt sich:
x1−2x2+3x3=4 x_1 − 2x_2 + 3x_3 = 4
7x2−14x3=−7 7x_2 − 14x_3 = -7
x2−2x3=−1 x_2 - 2x_3 = -1

Addiert man schließlich die zweite Zeile zum -7-fachen der dritten Zeile, ergibt sich:
x1−2x2+3x3=4 x_1 − 2x_2 + 3x_3 = 4
7x2−14x3=−7 7x_2 − 14x_3 = -7
0x2−0x3=0 0x_2 - 0x_3 = 0

Dies ist eine wahre Aussage. Damit können für alle drei Variablen beliebige Zahlen gewählt werden. Das LGS ist jedoch immer erfüllt.
Verwenden Sie das Beispiel als Übung und versuchen Sie, zur selben Lösung zu gelangen.

LGS in Abhängigkeit eines Parameters lösen

Im folgenden LGS treten nicht nur drei Unbekannte, sondern ein zusätzlicher Parameter auf. Das LGS besitzt damit drei Gleichungen und vier Unbekannte. In diesem Fall soll ein Wert für den Parameter gefunden und die Lösung für x1x_1, x2x_2 und x3x_3 in Abhängigkeit eines weiteren Parameters angegeben werden.

x1+x2+x3=33 x_1 + x_2 + x_3 = 33
x1+x2−2x3=0 x_1 + x_2 − 2x_3 = 0
x1+x2−x3=α x_1 + x_2 - x_3 = \alpha

Bringt man das Gleichungssystem in Stufenform, erhält man im ersten Schritt in der zweiten Gleichung:
3x3=33 3x_3 = 33
Damit lässt sich x3 x_3 direkt bestimmten.

x3=11 x_3 = 11

Das wiederum kann in das LGS eingesetzt werden:
x1+x2+11=33 x_1 + x_2 + 11 = 33
x1+x2−2⋅11=0 x_1 + x_2 − 2 \cdot 11 = 0
x1+x2−11=α x_1 + x_2 - 11 = \alpha

Vereinfacht ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
x1+x2=22 x_1 + x_2 = 22
x1+x2=22 x_1 + x_2 = 22
x1+x2=α+11 x_1 + x_2 = \alpha + 11

Damit alle Gleichungen erfüllt sind, muss α=11 \alpha = 11 sein.

Damit dann eine Lösung angegeben werden kann, wird ein anderer Parameter herangezogen.
x1=r x_1 = r
Für x2x_2 ergibt sich dann:
x2=22−r x_2 = 22 - r

Das heißt, das LGS besitzt eine Lösungsschar, die als Gerade dargestellt werden kann. Dies geschieht häufig in Vektorschreibweise.
(x1x2x3)=(02211)+r⋅(1−10)\left(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 22 \\ 11 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right)

Lineare Gleichungssysteme
LGS Mit Zwei Unbekannten
Logarithmen
Definition Anwendung Bedeutung