Winkel und Winkelmaße - book.mathe.studien.cloud

Winkel spielen unter anderem in der Physik eine große Rolle. So werden zum Beispiel bei der Reflexion und Brechung von Lichtstrahlen in der Optik Ein- und Ausfallswinkel betrachtet. Ebenso müssen bei der Bestimmung des Kräftegleichgewichts entlang einer schiefen Ebene Winkel betrachtet werden.

Zur Angabe der Größe eines Winkels können verschiedene Winkelmaße gewählt werden. In der Mathematik verwendet man üblicherweise das Gradmaß und das Bogenmaß.

Gradmaß¶

Um Winkel anzugeben, die kleiner als 1° sind, werden Bogenminuten und Bogensekunden verwendet. Dabei gilt:
Ein Winkel- oder auch Bogengrad hat 60 Bogenminuten: $1° = 60'$
Eine Bogenminute hat 60 Bogensekunden: $1'=60''$

Bogenmaß¶

Als Bogenmaß dient die Maßzahl der Länge des Bogens am Einheitskreis. Als Einheitskreis wird in der Mathematik ein Kreis mit Radius 1 bezeichnet. Der Umfang eines beliebigen Kreises mir Radius $r$ ist definiert als $U=2\pi r$ . Für den Einheitskreis mit Radius $r=1$ ergibt sich damit der Umfang $U=2\pi$ .

Dabei steht “rad” für Radiant und ist das Einheitenzeichen im Bogenmaß. Dieses Einheitenzeichen wird auch oft weggelassen. Begegnen Sie also einem Winkel, dessen Wert ohne Einheitenzeichen angegeben ist, so ist dieser Winkel im Bogenmaß angegeben.

Analog zu der oberen Überlegung erkennen wir, dass der halbe Einheitskreis die Bogenlänge $\pi$ hat. Es gilt also $1\pi$ im Bogenmaß entspricht 180° im Gradmaß. Ein Viertel des Einheitskreises hat die Bogenlänge $\frac{\pi}{2}$ und entspricht damit 90°. Machen Sie sich diese Zusammenhänge mit Hilfe der folgenden Graphik klar. Verwenden Sie den Schieberegler, um verschiedene Winkel einzustellen, und vergleichen Sie jeweils die Winkelwerte im Grad- und im Bogenmaß.

import numpy as np
from bokeh.plotting import figure, show, output_notebook
from bokeh.models import Slider, ColumnDataSource, CustomJS
from bokeh.layouts import column

output_notebook()

# -----------------------------
# Initialwerte
# -----------------------------
radius = 1.0
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
x = radius * np.cos(theta)
y = radius * np.sin(theta)

bogenmass_dummy = 1/4
bogenmass = bogenmass_dummy * np.pi

theta_interactive = np.linspace(0, bogenmass, 100)
x_interactive = radius * np.cos(theta_interactive)
y_interactive = radius * np.sin(theta_interactive)

# -----------------------------
# Datenquellen
# -----------------------------
source_interactive = ColumnDataSource(data=dict(
    x=x_interactive,
    y=y_interactive
))

# NEU: Source für Radius-Linie
source_radius = ColumnDataSource(data=dict(
    x=[0, x_interactive[-1]],
    y=[0, y_interactive[-1]]
))

source_text = ColumnDataSource(data=dict(
    x=[0.2],
    y=[0.1],
    text=[f"φ = {bogenmass_dummy} π rad"]
))

source_text_deg = ColumnDataSource(data=dict(
    x=[0.3],
    y=[0.25],
    text=[f"α = {int(bogenmass/np.pi*180)}°"]
))

# -----------------------------
# Plot
# -----------------------------
p = figure(
    width=600,
    height=600,
    title="Einheitskreis",
    x_range=(-1.2, 1.2),
    y_range=(-1.2, 1.2)
)

p.xaxis.axis_label = 'x'
p.yaxis.axis_label = 'y'
p.grid.visible = True

# Einheitskreis (grau)
p.line(x, y, color="gray", line_width=3)

# Interaktiver Teilkreis (rot)
p.line('x', 'y',
       source=source_interactive,
       line_color="red",
       line_width=5)

# Grundlinie (x-Achse)
p.line([0, 1], [0, 0],
       color="black",
       line_dash="dashed")

# Radius (JETZT dynamisch!)
p.line('x', 'y',
       source=source_radius,
       color="black",
       line_dash="dashed")

# Texte
p.text('x', 'y',
       text='text',
       source=source_text,
       text_font_size='12pt')

p.text('x', 'y',
       text='text',
       source=source_text_deg,
       text_font_size='12pt')

# -----------------------------
# Slider
# -----------------------------
slider = Slider(
    start=0,
    end=2,
    value=bogenmass_dummy,
    step=0.25,
    title="Bogenmaß in Vielfachen von π"
)

# -----------------------------
# CustomJS Callback
# -----------------------------
callback = CustomJS(
    args=dict(
        source=source_interactive,
        source_radius=source_radius,
        source_text=source_text,
        source_text_deg=source_text_deg,
        slider=slider
    ),
    code="""
    const bogenmass_dummy = slider.value;
    const bogenmass = bogenmass_dummy * Math.PI;

    const theta = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * bogenmass / 99);
    const x_vals = theta.map(t => Math.cos(t));
    const y_vals = theta.map(t => Math.sin(t));

    // Teilkreis aktualisieren
    source.data['x'] = x_vals;
    source.data['y'] = y_vals;
    source.change.emit();


    // Radius aktualisieren
    const x_end = Math.cos(bogenmass);
    const y_end = Math.sin(bogenmass);

    // Radius aktualisieren
    source_radius.data['x'] = [0, x_end];
    source_radius.data['y'] = [0, y_end];
    source_radius.change.emit();


    // Text aktualisieren
    source_text.data['text'] = [`φ = ${bogenmass_dummy} π rad`];
    source_text_deg.data['text'] = [`α = ${Math.round(bogenmass/Math.PI*180)}°`];

    source_text.change.emit();
    source_text_deg.change.emit();
"""
)

slider.js_on_change('value', callback)

layout = column(p, slider)
show(layout)

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Zusammenfassung der Winkelmaße¶

Winkelmaß	Maßeinheit	Vollwinkel	Einheitenzeichen	Taschenrechner
Gradmaß	Grad	360°	°	Deg (für Degree)
	Bogenminute	360 $\cdot$ 60’	’
	Bogensekunde	360 $\cdot$ 60 $\cdot$ 60’’	‘’
Bogenmaß	Radiant	$2\pi$ rad	rad	Rad (für Radiant)

Bei vielen Taschenrechnern lässt sich noch ein weiteres Winkelmaß einstellen, das oft mit “GRAD” bezeichnet wird.

Wenn Sie mehr darüber wissen möchten, dann klicken Sie auf die Eule.

🦉

Das angesprochene Winkelmaß nennt sich Gon bzw. veraltet auch Neugrad. Dabei handelt es sich um ein geodätisches Winkelmaß, das zum Teil im Vermessungswesen verwendet wird. Der Vollwinkel beträgt bei diesem Winkelmaß 400 gon, wobei “gon” das in diesem Winkelmaß verwendete Einheitenzeichen ist.

Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß¶

Diesen Zusammenhang kann man sich über einen einfachen Dreisatz oder über den 1. Strahlensatz veranschaulichen.

Wenn Sie mehr dazu wissen möchten, klicken Sie auf die Eule.

🦉

Dreisatz

Zur Veranschaulichung kann man sich folgende Tabelle denken:

Winkel im Gradmaß (°)	Winkel im Bogenmaß (rad)
360	$2\pi$
1	$\frac{2\pi}{360}$
$\alpha$	$\alpha \cdot \frac{2\pi}{360}$

Strahlensatz

Ein anderer Weg ist die Veranschaulichung über den 1. Strahlensatz.
Wir denken uns auf einem der beiden Strahlen die Größen im Gradmaß
und auf dem anderen Strahl die Größen im Bogenmaß (siehe Skizze rechts).

Nach dem 1. Strahlensatz gilt:

$\frac{\varphi}{2\pi} = \frac{\alpha}{360°}$

Umstellen der Gleichung führt ebenfalls auf den oben angegebenen Zusammenhang.

Beispiel 1:: $\alpha=30°\qquad\Rightarrow\qquad \varphi=30°\cdot\frac{\pi}{180°}=\frac{\pi}{6}$

Beispiel 2:: $\alpha=1°\qquad\Rightarrow\qquad \varphi=1°\cdot\frac{\pi}{180°}=0{,}017453 \dots$

Beispiel 3:: $\varphi=1\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=1\cdot\frac{180°}{\pi}=57{,}296°$

Zur Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß gibt es weitere Erklärungen in unserem Video. https://youtu.be/IGr35Ckb4zQ

Anwendungsbeispiel Bogenmaß:¶

Berechnung der Bogenlänge in einem Kreis mit beliebigem Radius¶

Handelt es sich nicht um den Einheitskreis, muss zur Berechnung der Bogenlänge $b_r$ der Radius $r$ des Kreises beachtet werden. Der Umfang des Kreises ist $U=2\pi r$ . Die Bogenlänge $b_r$ ist ein Teil der Strecke des Umfangs $U$ und es gilt:

oder

Beispiel:

$r = 2\,\text{cm}$ $\alpha = 45°$

Die Berechnung der Bogenlänge ist mit beiden Formeln möglich:

Mit der Formel im Gradmaß:

Direktes Einsetzen:

$b_r = \frac{45°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 2\,\text{cm} = \frac{1}{8} \cdot 2\pi \cdot 2\,\text{cm} = \frac{\pi}{4} \cdot 2\,\text{cm} \approx 1{,}571\,\text{cm}$

Mit der Formel im Bogenmaß:

Zuerst Umrechnung des Winkels:

$\varphi = \frac{\alpha}{180°}\cdot\pi = \frac{45°}{180°}\cdot\pi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4}$

Dann Berechnung der Kreisbogenlänge:

$b_r = \frac{\pi}{4} \cdot 2\,\text{cm} \approx 1{,}571\,\text{cm}$

Sehen Sie sich gerne dazu auch das Video an! https://youtu.be/ct-SuFHBLqw

Spezielle Winkel und Winkelbereiche¶

Grad	Rad	Bezeichnung
90°	$\frac{\pi}{2}$	rechter Winkel
0 bis 90°	0 bis $\frac{\pi}{2}$	spitzer Winkel
90° bis 180°	$\frac{\pi}{2}$ bis $\pi$	stumpfer Winkel
180° bis 360°	$\pi$ bis $2\pi$	überstumpfer Winkel