Rechnen mit Potenzen

Anwendungsbeispiel - Wofür benötige ich Potenzrechnung?¶

Gemäß einer indischen Legende durfte sich ein weiser Mann als Belohnung für die Erfindung des Schachspiels von seinem König einen Wunsch erfüllen lassen. Nach reichlicher Überlegung kam er zu dem Entschluss, dass er gerne auf jedem Feld des Schachbretts Reiskörner haben wolle. Diese sollten so angeordnet sein, dass auf dem ersten Feld ein Korn liegt, auf dem zweiten zwei Körner, auf dem dritten vier und so weiter, sodass auf jedem Feld doppelt so viele Körner liegen wie auf dem Feld davor. Zunächst waren der König und seine Berater verärgert und lachten über den so bescheidenen Wunsch.

Warum hatten sie am Ende nichts mehr zu lachen? Um wie viele Reiskörner handelt es sich?

$N =$ Anzahl Reiskörner: $N = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{63} = \sum_{k=0}^{63} 2^k$

Wenn man die Summe berechnet, ergibt sich folgende Zahl:
18446744073709551615

Das sind ungefähr $N \approx 1,8 \cdot 10^{19}$ Reiskörner.

In einem Kilogramm Reis stecken etwa $54500$ Körner. Im Jahr 2018 wurden weltweit 782 Millionen Tonnen Reis produziert. Das sind etwa $4,26 \cdot 10^{16}$ Körner. Die Reiskörnermenge auf dem Schachbrett entspricht damit etwa 433 Jahresernten.

Machen Sie also nicht den Fehler wie der König damals. Beschäftigen Sie sich mit Potenzrechnung. Dann passiert Ihnen das nicht.

Quelle: https://meinstein.ch/math/reis-auf-dem-schachbrett/

Definitionen¶

Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Schreibweise¶

Jede Zahl kann als Summe ihrer Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntel, Hundertstel, Tausendstel... geschrieben werden.

Beispiel: Schreiben einer Zahl in Zehnerpotenzen

$7895,67 = 7000 + 800 + 90 + 5 + 0,6 + 0,07 = 7 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2}$

Schreiben Sie die folgenden Zahlen wie nach dem Beispiel oben als Summe von Zehnerpotenzen:

a) $4896,57$

Das Ergebnis erhalten Sie mit einem Klick auf die Glühbirne.

$4896,57 = 4 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2}$

b) $6589,07$

Das Ergebnis erhalten Sie mit einem Klick auf die Glühbirne.

$6589,07 = 6 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-2}$

c) $136,742$

Das Ergebnis erhalten Sie mit einem Klick auf die Glühbirne.

$136,742 = 1 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 4 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3}$

d) $9393,09$

Das Ergebnis erhalten Sie mit einem Klick auf die Glühbirne.

$9393,09 = 9 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 9 \cdot 10^{-2}$

Für eine übersichtlichere Darstellung und einen besseren Vergleich ist es sinnvoll, sehr große oder sehr kleine Zahlen und Brüche in der Potenzschreibweise mit Zehnerpotenzen zu schreiben.

Durchmesser eines Atomkerns: $d = 0.00000000000001$ m $= 10^{-14}$ m

Lichtgeschwindigkeit: $c = 299792458$ m/s $\ \approx 3 \cdot 10^8$ m/s

Wird eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise dargestellt, steht nur eine Ziffer vor dem Komma.

Beispiel: $45678 = 4,5678 \cdot 10^4$

Aufgaben zur wissenschaftlichen Schreibweise¶

Generieren Sie sich nun Aufgaben zum Üben. Die Schwierigkeit der Aufgabe kann über das in Klammern angegebene Level gewählt werden. Führen Sie die folgende Zelle aus, indem Sie zunächst in die Zelle klicken und dann Steuerung und Enter gleichzeitig drücken. Dadurch erhalten Sie die Aufgabe der Schwierigkeitsstufe 1. Berechnen Sie anschließend die Lösung der Aufgabe mit Stift und Papier und geben Sie das berechnete Ergebnis in das Textfeld ein. Durch Klicken auf den Button “Überprüfen” können Sie Ihr Ergebnis überprüfen. Wenn Sie nicht weiterkommen, dann klicken Sie auf die Glühbirne, um einen Tipp zu erhalten.

Teil A¶